Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 188, exercício 4

Seja f : R → R contínua com f 3 = 4 . Seja

g x , y , z = ∫ 0 x 2 + y 2 + z ² f t   d t

Calcule

  1. ∂ g ∂ x ( 1,1 , 1 )
  2. ∂ g ∂ y 1,1 , 1
  3. ∂ g ∂ z 1,1 , 1

Passo 1

a )

Vamos começar fazendo a derivada em relação a x .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 x

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 y

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Passo 3

c )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 z

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Resposta

  1. ∂ g ∂ x 1,1 , 1 = 8
  2. ∂ g ∂ y 1,1 , 1 = 8
  3. ∂ g ∂ z 1,1 , 1 = 8

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