Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 224, exercício 8

A imagem da curva

γ t = 2 t , t 2 , z t

Está contida no gráfico de z = f ( x , y ) .

Sabe-se que

f 2,1 = - 1

f x 2,1 = 1

f y 2,1 = - 1

Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 ) .

Passo 1

Primeiro vamos descobrir quem é o ponto de tangencia γ ( 1 ) :

γ t = 2 t , t 2 , z t

γ 1 = 2 1 , 1 2 , z 1 = 2,1 , z 1

Beleza, mas como a curva γ está contida no gráfico de z , então

z t = f 2 t , t 2

Assim,

z 1 = f 2 1 , 1 2 = f 2,1 = - 1

Como a questão nos diz.

Beleza, agora que já sabemos o ponto de tangencia

P 0 = ( 2,1 , - 1 )

Vamos calcular o vetor n na direção da reta tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse vetor vai ser

n = γ ' t = 2,2 t , d z d t

Passo 3

Para calcular d z d t vamos usar a regra da cadeia:

d z d t = z x d x d t + z y d y d t

Para isso, precisamos do gradiente de z , que é igual ao gradiente de f :

f 2,1 = f x 2,1 , f y 2,1 = ( 1 , - 1 )

Passo 4

Agora vamos calcular o que falta:

x t = 2 t

d x d t = 2

E

y t = t 2

d y d t = 2 t

Passo 5

Substituindo em t 0 = 1 :

d x d t ( 1 ) = 2

d y d t 1 = 2 1 = 2

Passo 6

Assim, nosso vetor n será

n = 2,2 t 0 , d z d t t 0 = 2,2 1 , z x 2,1 d x d t 1 + z y 2,1 d y d t 1 = 2,2 , 1.2 + - 1 . 2

n = ( 2,2 , 0 )

Passo 7

Para encontrar a reta tangente, falta só substituir tudo isso na equação da reta:

P 0 = ( 2,1 , - 1 )

n = ( 2,2 , 0 )

r t = P 0 + n t

r t = ( 2,1 , - 1 ) + ( 2,2 , 0 ) . t

Resposta

r t = ( 2,1 , - 1 ) + ( 2,2 , 0 ) . t

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