Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 19

f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que

g t , f t = 0

Para todo t .

Suponha que

f 0 = 1

g x 0,1 = 2

g y 0,1 = 4

Determine a equação da reta tangente a γ t = t , f t no ponto γ ( 0 ) .

Passo 1

Primeiro vamos descobrir quem é o ponto de tangencia γ ( 0 ) :

γ t = t , f ( t )

γ 0 = 0 , f ( 0 ) = ( 0,1 )

Beleza, agora que já sabemos o ponto de tangencia

P 0 = ( 0,1 )

Vamos calcular o vetor n na direção da reta tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse vetor vai ser

n = γ ' t = 1 , f ' ( t )

No ponto ( 0,1 ) , t = 0 , então:

n = γ ' 0 = 1 , f ' ( 0 )

Então a equação da reta vai ser:

r t = P 0 + n t

r t = ( t , 1 + t f ' 0 )

Passo 3

Beleza, agora vamos fazer:

g t , f t = z t = 0

E vamos fazer a derivada desse cara com relação a t:

d g d t = d z d t = g x d x d t + g y d y d t = 0

E no ponto t = 0 , P 0 = ( 0,1 ) . Vamos substituir:

x = t

d x d t = 1

y t = f t

d y d t = f ' ( t )

d z d t = g ( 0,1 ) x d x ( 0,1 ) d t + g ( 0,1 ) y d y ( 0,1 ) d t = 0

d z d t = 2.1 + 4 . f ' ( 0 ) = 0

f ' 0 = - 1 2

Passo 4

Então a reta tangente vai ser:

r t = ( t , 1 + t f ' ( 0 )

r t = t , 1 - t 2

Resposta

r t = t , 1 - t 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas