Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 184, exercício 16

Seja

f x , y = x ² y ² e - t 2 d t

Calcule f x ( x , y ) e f y ( x , y ) .

Passo 1

Vamos começar fazendo a derivada em relação a x , como temos uma integral vamos usar o teorema fundamental do cálculo, mas antes precisamos deixar essa integral um pouco diferente, porque a integral nós fazermos de um número até uma função, então vamos começar arrumando isso

f ( x , y ) = x ² y 2 e - t ² d t = x ² 0 e - t ² d t + 0 y 2 e - t ² d t = - 0 x ² e - t ² d t + 0 y 2 e - t ² d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para a derivada, usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

f x = - e - ( x ² ) ² x x ² + e - ( y 2 ) ² x y 2

f x = - e - ( x 2 ) ² . 2 x + 0 . e - ( y 2 ) = - 2 x e - x 4

Passo 3

Vamos agora para a derivada em relação a y , usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia

f y = = - e - ( x 2 ) ² y x ² + e - ( y 2 ) ² y y 2

f y = - e - x 4 0 + e - y 4 2 y = 2 y e - y 4

Resposta

f x = - 2 x e - x 4

f y = 2 y e - y 4

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