Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 10

Seja

w = x y e t 2 d t

x = r s 4

y = r 4 s

Calcule

w r         e       w s

Passo 1

Temos duas formas de resolver essas derivadas aqui, podemos trocar x e y pelas funções de r e s na integral e derivar, ou podemos ir pela regra da cadeia, eu vou pela regra da cadeia.

A primeira coisa que temos que fazer é achar o gradiente de w em x e y , primeiro vamos dar uma arrumada nessa integral para podermos aplicar o teorema fundamental do cálculo, para isso vamos fazer a integral indo de uma constante à uma variável.

w = x y e t 2 d t = x 0 e t 2 d t + 0 y e t 2 d t = - 0 x e t 2 d t + 0 y e t 2 d t

w = - 0 x e t 2 d t + 0 y e t 2 d t

O vetor gradiente vai ser

w = w x , w y

w x = - e x 2 x x = - e x 2

w x = e y 2 x y = e y 2

O vetor gradiente vai ser

w = - e x 2 , e y 2

Devemos ter esse gradiente em relação a r e s então

w = - e r s 4 2 , e r 4 s 2

w = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2

Esse vetor gradiente serva para as duas derivadas, o próximo passo que depende de qual derivada vamos fazer primeiro. A parametrização vai ser

σ r , s = r s 4 , r 4 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar achando a derivada em relação a r , para isso devemos achar a derivada da parametrização em relação a r

σ r = x r , y r

x r = s 4

y r = 4 r 3 s

A derivada da parametrização vai ficar

σ r = s 4 , 4 r 3 s

Passo 3

Então vamos ter

w r = w σ r

w r = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2 s 4 , 4 r 3 s

w r = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

Passo 4

Agora vamos a derivada de s , para isso devemos achar a derivada da parametrização em relação a r

σ s = x s , y s

x s = 4 s 3 r

y s = r 4

A derivada da parametrização vai ficar

σ s = 4 s 3 r , r 4

Passo 5

Então vamos ter

w s = w σ s

w s = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2 4 s 3 r , r 4

w s = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

Resposta

w r = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

w s = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

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