Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 188, exercício 4

Seja f : R R contínua com f 3 = 4 . Seja

g x , y , z = 0 x 2 + y 2 + z ² f t   d t

Calcule

  1. g x ( 1,1 , 1 )
  2. g y 1,1 , 1
  3. g z 1,1 , 1

Passo 1

a )

Vamos começar fazendo a derivada em relação a x .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

g x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) x x 2 + y 2 + z 2

g x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 x

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

g x 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

g y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) y x 2 + y 2 + z 2

g y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 y

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

g y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Passo 3

c )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

g z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) z x 2 + y 2 + z 2

g z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 z

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

g y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Resposta

  1. g x 1,1 , 1 = 8
  2. g y 1,1 , 1 = 8
  3. g z 1,1 , 1 = 8

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