Exercícios Resolvidos de Sólido Semi-Infinito

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Enunciado

(Adaptada) Uma placa fina de aço ( ρ =   7800   k g . m - 3 , c p =   480   J . k g - 1 . K - 1 e k = 50   W . m - 1 . K - 1 ) está inicialmente a 300 o C e é resfriada por um jato de água colidindo em uma de suas superfícies. A temperatura da água é de 25 o C e o jato mantém um coeficiente de convecção na superfície elevado e aproximadamente uniforme. Considerando que a superfície é mantida à temperatura da água através do resfriamento, quanto tempo levará para a temperatura alcançar 50 o C a uma distância de 25   m m da superfície?

Dica: Assuma que a derivada da função e r f c   w em relação ao coeficiente de convecção ( h ) é sempre maior que a derivada da função exp ⁡ w .

Passo 1

A gente pode ilustrar o enunciado da seguinte maneira:

Esse caso trata de convecção numa superfície, logo estamos falando do Caso 3. A gente já viu que existe uma expressão pronta para a razão entre temperaturas:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ² . e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

No enunciado tá escrito que “o jato mantém um coeficiente de convecção na superfície elevado”. Ou seja, seu valor é muito alto! Podemos então analisar a equação quando o h tende ao infinito ( )!

Note que o primeiro termo não depende de h , mas o segundo sim! Então bora analisar primeiro a exponencial e depois a função e r f c !

Passo 2

Analisando o termo exponencial:

L 1 = lim h → ∞ ⁡ exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ²

L 1 = lim h → ∞ ⁡ exp ⁡ ∞

L 1 → ∞

Analisando o termo gaussiano:

L 2 = lim h → ∞ ⁡ e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

L 2 = lim h → ∞ ⁡ e r f c ∞

L 2 → 0

Sendo assim, a gente pode verificar pela regra de L’Hospital a razão:

R = L 1 1 / L 2

O limite quando h → ∞ dá a indeterminação 0 / 0 e, então, a gente pode derivar em cima e em baixo:

R = L 1 1 / L 2

Aí é que vem a dica! Como a derivada da função exponencial em relação ao coeficiente h é sempre menor que a derivada da função e r f c , a razão vai a zero quando h → ∞ . Dessa forma, a gente fica com:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t

Passo 3

Como a gente já sabe a temperatura inicial ( T i ) e final ( T 5   m i n ) e a temperatura do fluido ( T ∞ ), bora calcular o valor da razão:

T x , t - T i T ∞ - T i = 323 - 298   K 573 - 298   K

T x , t - T i T ∞ - T i = 0,09091

Passo 4

Então, temos que:

0,0909 = e r f c x 2 . α . t

Pela tabela, temos que o argumento da função erro complementar e r f c será aproximadamente:

x 2 . α . t = 0,08

Isolando o termo do tempo:

t = x ² 4 . 0,08 2 . α

Bora, então, calcular a difusividade térmica ( α ) do material:

α = k ρ . c p             →         α = 50   W . m - 1 . K - 1 7800   k g . m - 3 . 480   J . k g - 1 . K - 1         →         α = 2,17   x   10 - 5   m 2 s

Substituindo os valores do enunciado:

t = 0,025   m ² 4 . 0,08 2 . 2,17   x   10 - 5   m 2 . s - 1

t = 1125   s  

Resposta

t = 1125   s

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