Exercícios Resolvidos de Sólido Semi-Infinito

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Enunciado

Um bloco espesso de madeira ( k = 1,26   W . m - 1 . K - 1 e α = 1,10 . 10 - 5   m 2 . s - 1 ) pintado de preto a 20 o C é submetido a um fluxo de calor solar constante de 1250   W . m - 2 .

a Determine a temperatura da superfície exposta do bloco após 20   m i n .

b Qual seria a sua resposta se o bloco fosse feito de alumínio?

Dados referentes ao alumínio: k = 237   W . m - 1 . K - 1 e α = 9,71 . 10 - 5   m 2 . s - 1 .

Passo 1

a Determine a temperatura da superfície exposta do bloco após 20   m i n .

Esse é um problema de condução transiente em um meio semi-infinito submetido a um fluxo de calor constante na superfície, ou seja, é o nosso Caso 2. A gente já viu que existe uma expressão para a temperatura para esse tipo de situação:

T x , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - x 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c x 2 . α . t

O enunciado pede pra gente avaliar a superfície do bloco exposta, então x = 0   m :

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - 0 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c 0 2 . α . t

Como exponencial de 0 é 1 :

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π - q o ' ' . x k . e r f c 0 2 . α . t

E dando uma olhada lá na tabela da função erro complementar ( e r f c ), descobrimos que e r f c 0 = 0 . Então:

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π

Já ficou com uma carinha melhor né?

Passo 2

Pra avaliar o bloco de madeira após 20   m i n , a gente tem que passar esses 20   m i n para segundos. E chegamos no seguinte:

20   m i n = 1200   s

T 0,1200 - 293   K = 2 . 1 250   W . m - 2 1 , 26   W . m - 1 . K - 1 . 1,10 . 10 - 5   m 2 . s - 1 . 1200   s π

T 0,1200 = 421,6   K

Passo 3

b Qual seria a sua resposta se o bloco fosse feito de alumínio?

Caso o bloco fosse de alumínio, a gente teria difusividade ( α ) e condutividade ( k ) térmicas diferentes! Mas, como continuamos avaliando a superfície exposta, temos que x = 0   m . Logo:

T 0 , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π

Após 20   m i n , a temperatura da superfície seria:

T 0,1200 - 293   K = 2 . 1 250   W . m - 2 237   W . m - 1 . K - 1 . 9,71   .   10 - 5   m 2 . s - 1 . 1200   s π

T 0,1200 = 295   K

Ou seja, com o mesmo fluxo de calor, a superfície de um bloco de alumínio permaneceria a uma temperatura menor do que a de um bloco de madeira.

Isso acontece porque o alumínio conduz energia térmica melhor que a madeira. Na madeira, a energia sofre uma resistência maior a migrar para o resto do sólido, acumulando-se então logo no início, o que torna a temperatura da superfície maior.

Resposta

  1. T 0,1200 = 421,6   K
  2. T 0,1200 = 295   K

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