Exercícios Resolvidos de Sólido Semi-Infinito

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um ferro para soltar cerâmica consiste em uma placa maciça mantida a 150 o C por um aquecedor elétrico incorporado. O ferro é colocado em contato com uma cerâmica para promover o amolecimento do adesivo, permitindo que a cerâmica seja levantada facilmente da base na qual ela se encontra fixada. O adesivo irá amolecer suficientemente se aquecido acima de 50 o C por um tempo mínimo de 2   m i n , mas sua temperatura não deve exceder 120 o C para evitar deterioração do adesivo.

Considere a cerâmica e a base de fixação com temperatura inicial de 25 o C e propriedades termofísicas equivalentes a: k = 0,156   W . m - 1 . K - 1 e ρ . c p = 1,5   x   10 6   J . m - 3 . K - 1 .

a Quanto tempo levará um trabalhador usando tal dispositivo para suspender a cerâmica?

b A temperatura do adesivo irá exceder 120 o C ?

c Se o dispositivo tem área superficial quadrada de 254   m m de lado, qual a quantidade de energia é removida do mesmo durante o tempo que leva para suspender a cerâmica?

Passo 1

a Quanto tempo levará um trabalhador usando tal dispositivo para suspender a cerâmica?

Esse caso trata de uma superfície com temperatura constante, logo estamos falando do Caso 1.

A gente já viu que existe uma expressão pronta para a razão entre as temperaturas nessa condição, que é dada por:

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ x 2 . α . t

Bora então calcular a difusividade térmica ( α ) do material:

α = k ρ . c p         →         α = 0,156   W . m - 1 . K - 1 ( 1,5   x   10 6   J . m - 3 . K - 1 )           →           α = 1,04   x   10 - 7   m 2 s

Sendo assim, considerando que a superfície tem que atingir 50 o C , temos que:

[ 323 - 423   K ] [ 298 - 423   K ] = erf ⁡ 0,004   m 2 . 1,04   x   10 - 7   m 2 . s - 1 . t

0,8 = erf ⁡ 6,2   s 0,5 t

Pela tabela o argumento da função erro que gera aproximadamente o resultado 0,80 vale 0,92. Então:

6,2   s 0,5 t = 0,92

t = 45,4   s  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b A temperatura do adesivo irá exceder 120 o C ?

Depois que a temperatura alcançar os 50 o C , ela deve permanecer por, no mínimo 2   m i n . Então, a gente tem que avaliar qual a temperatura da superfície depois do tempo total t t o t :

t t o t = 45,4   s + 2 . ( 60   s )

t t o t = 165,4   s

Utilizando novamente a equação para o Caso 1, mas agora usando o tempo pra calcular a temperatura, teremos:

T 0,004 ; 165,4 - 423   K [ 298 - 423   K ] = erf ⁡ 0,004   m 2 . 1,04   x   10 - 7   m 2 . s - 1 . 165,4   s

T 0,004 ; 165,4 - 423   K - 125   K = erf ⁡ 0,48

Pela tabela:

T 0,004 ; 165,4 - 423   K - 125   K = 0,50275

T 0,004 ; 165,4 = 360,2   K  

Isso equivale a 87 o C , ou seja, a temperatura não ultrapassa o limite de 120 o C após o tempo total.

Passo 3

c Se o dispositivo tem área superficial quadrada de 254   m m de lado, qual a quantidade de energia é removida do mesmo durante o tempo que leva para suspender a cerâmica?

O fluxo de energia térmica nessa condição do Caso 1 é dado pela seguinte equação:

q s ' ' = k . ( T s - T i ) π . α . t

Esse fluxo varia ao longo do tempo, como vemos na equação. Então, pra gente encontrar a quantidade total de energia que será transferida do asfalto, basta a gente integrar essa expressão ao longo do tempo:

Q = ∫ 0 t q s ' ' . A s d t

Substituindo a expressão do fluxo:

Q = ∫ 0 t k . T s - T i π . α . 1 t . A s d t

Q = k . T s - T i . A s π . α . ∫ 0 t t - 1 / 2 d t

Integrando a expressão:

Q = k . T s - T i . A s π . α . ( 2 . t 1 / 2 )

Q = 2 . k . T s - T i . A s . t π . α

Já calculamos o valor da difusividade térmica ( α ), então:

Q = 2 . 0,156   W . m - 1 . K - 1 . 423 - 298   K . 0,254   m 2 . ( 165,4   s ) π . 1,04   x   10 - 7   m 2 . s - 1

Q = 56,61   k J  

Resposta

  1. t = 45,4   s
  2. T 0,004 ; 165,4 = 360,2   K
  3. Q = 56,61   k J

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