Exercícios Resolvidos de Sólido Semi-Infinito

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Padrões para paredes contrafogo podem ser baseados em suas respostas térmicas a um fluxo térmico radiante especificado. Seja uma parede de concreto com 0,25   m de espessura ( ρ =   2300   k g . m - 3 , c p =   880   J . k g - 1 . K - 1 e k = 1,4   W . m - 1 . K - 1 ), que se encontra a uma temperatura inicial de T i = 25 o C e é irradiada em uma superfície por lâmpadas que fornecem um fluxo térmico uniforme de q s ' ' = 10 4   W . m - 2 . A absortividade da superfície em relação à radiação é α s = 1,0 . Se as exigências de construção ditam que as temperaturas nas superfícies irradiada e não-irradiada, após 30   m i n de aquecimento, não podem exceder 325 o C e 25 o C , respectivamente, as exigências serão atendidas?

Passo 1

A gente pode entender o enunciado com a seguinte ilustração:

Nessa situação, temos um fluxo de calor constante na superfície de valor conhecido ( q s ' ' ). Sendo assim, a gente está no Caso 2 e temos uma expressão pronta para determinar a temperatura em algum ponto do material:

T x , t - T i = 2 . q o ' ' k . α . t π . exp ⁡ - x 2 4 . α . t - q o ' ' . x k . e r f c x 2 . α . t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora, primeiro, calcular a difusividade térmica ( α ) do material:

α = k ρ . c p             →             α = 1,4   W . m - 1 . K - 1 2300   k g . m - 3 . 880   J . k g - 1 . K - 1             →             α = 6,92   x   10 - 7   m 2 s

A gente precisa calcular a temperatura das duas superfícies após 30   m i n : em x = 0   m e em x = 0,25   m . Mas antes bora calcular o termo que é constante nas duas situações:

2 . q o ' ' k . α . t π = 2 . 10 4   W . m - 2 1,4   W . m - 1 . K - 1 . 6,92   x   10 - 7 m . s - 2 . 60 . 30   s π

2 . q o ' ' k . α . t π = 284,5   K

Vamos agora determinar a temperatura em cada superfície após 30 minutos.

Passo 3

  • No instante de 30   m i n em x = 0   m :
  • T 0   m , 1800   s - T i = 284,5   K . exp ⁡ - 0 2 4 . α . t - q o ' ' . ( 0 ) k . e r f c 0 2 . α . t

    T 0   m , 1800   s - T i = 284,5   K . 1 - ( 0 )

    Assim:

    T 0   m , 1800   s - 298   K = 284,5   K

    T 0   m , 1800   s = 582,5   K  

    Como 582,5   K é menor que o limite de 598   K , a condição ainda é satisfeita após 30   m i n para a parede na posição x = 0   m .

    Passo 4

  • No instante de 30   m i n em x = 0 , 25   m :

T 0,25   m , 1800   s - T i = 284,5   K . exp ⁡ - 0,25   m 2 4 . α . t - q o ' ' . ( 0,25   m ) k . e r f c 0,25   m 2 . α . t

Substituindo os demais valores:

T 0,25   m , 1800   s - 298   K = 284,5   K . exp ⁡ - 0,25   m 2 4 . 6,92   x   10 - 7 m . s - 2 . 1800   s - 10 4   W . m - 2 . 0,25   m 1,4   W . m - 1 . K - 1 . e r f c 0,25   m 2 . 6,92   x   10 - 7 m . s - 2 . 1800   s

Assim:

T 0,25   m , 1800   s - 298   K = ( 1,01   x   10 - 3   K ) - 1785,7   K . e r f c 3,54

Pela tabela:

Podemos ainda escrevero e r f c   w como sendo 1 - erf ⁡ w :

T 0,25   m , 1800   s - 298   K = 1,01   x   10 - 3   K - 1785,7   K . 1 - erf ⁡ 3,54

T 0,25   m , 1800   s = 298   K - 0,03

Assim, ficamos com:

T 0,25   m , 1800   s = 297,96   K  

Como 297,96   K é menor que o limite de 298   K , a condição ainda é satisfeita após 30   m i n para a parede na posição x = 0,25   m .

Resposta

Ambas as condições são satisfeitas, porque as temperaturas nas superfícies, após 30   m i n são de:

T 0   m , 1800   s = 582,5   K

T 0,25   m , 1800   s = 297,96   K

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