Exercícios Resolvidos de Sólido Semi-Infinito

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Enunciado

A massa específica e o calor específico de um material plástico são conhecidos ( ρ =   1100   k g . m - 3 e c p =   950   J . k g - 1 . K - 1 ), mas sua condutividade térmica é desconhecida. Para determinar a condutividade térmica, uma experiência é realizada, na qual uma amostra fina de um material é aquecida a uma temperatura uniforme de 100 o C e então resfriada pela passagem de ar a 25 o C sobre uma superfície. Um termopar fixado a uma distância de x m = 10   m m abaixo da superfície registra a resposta térmica do plástico durante o resfriamento.

Se o coeficiente de convecção associado com a corrente de ar é h = 200   W . m - 2 . K - 1 e a temperatura 60 o C é registrada 5   m i n após iniciar o resfriamento, qual é a condutividade térmica do material?

Passo 1

A gente pode ilustrar o enunciado da seguinte maneira:

Esse caso trata de convecção numa superfície, logo estamos falando do Caso 3. A gente já viu que existe uma expressão pronta para a razão entre temperaturas:

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . α . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . α . t k ² . e r f c x 2 . α . t + h . α . t k

Note que a condutividade térmica ( k ) só aparece dentro da definição de difusividade térmica ( α ) na expressão acima. Sendo assim, a gente precisa abrir a expressão de α :

T x , t - T i T ∞ - T i = e r f c x 2 . ρ . c p k . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . t k . ρ . c p . e r f c x 2 . ρ . c p k . t + h k . k . t ρ . c p

Mas é uma equação implícita! Ou a gente resolve por um método numérico (como Newton-Raphson ou Bisseção), ou a gente resolve com uma calculadora científica! Mais fácil pegar uma HP então!

Passo 2

Como a gente já sabe a temperatura inicial ( T i ) e final ( T 5   m i n ) e a temperatura do fluido ( T ∞ ), bora calcular o valor da razão:

T x , t - T i T ∞ - T i = 333 - 373   K 298 - 373   K

T x , t - T i T ∞ - T i = 0,533

Passo 3

Então, temos que:

0,533 = e r f c x 2 . ρ . c p k . t - exp ⁡ h . x k + h 2 . t k . ρ . c p . e r f c x 2 . ρ . c p k . t + h k . k . t ρ . c p

Substituindo os seguintes valores do enunciado para resolver na HP:

x = 0,010   m

t = 300   s

ρ =   1100   k g . m - 3

c p =   950   J . k g - 1 . K - 1

h = 200   W . m - 2 . K - 1

Sendo assim, a gente fica com:

k = 0,45   W . m - 1 . K - 1  

Resposta

k = 0,45   W . m - 1 . K - 1

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