Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Ache uma equação da superfície cônica de vértice V = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) que tem por diretriz a circunferência

C :   x 2 + y 2 = 1 z = 0

Passo 1

Chegou a hora de ficarmos craques em superfícies cônicas!! Hehe

Para isso o exercício pede para determinarmos a equação da superfície cônica que possui:

  • Vértice - V = ( 1 ,   - 1 ,   3 )
  • Diretriz a circunferência C :   x 2 + y 2 = 1 z = 0

Passo 2

Da teoria vimos que se definirmos nosso vértice como sendo V = ( h ,   k ,   l ) e definirmos nossa diretriz como:

C : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

A equação da nossa superfície será o sistema:

C : f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

Passo 3

Já demos uma revisada rápida na teoria. Agora, vamos colocar em prática:

V = h ,   k ,   l = ( 1 ,   - 1 ,   3 )

C : f x ,   y , z = 0 = x 2 + y 2 - 1 g x ,   y ,   z = 0 = z       ( 1 )

f 1 + λ x - 1 ,   - 1 + λ ( y + 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0 g 1 + λ x - 1 ,   - 1 + λ ( y + 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0       ( 2 )

Susbituindo as mudanças de variáveis de ( 2 ) em ( 1 ) , temos:

C : ( 1 + λ x - 1 ) 2 + ( - 1 + λ y + 1 ) 2 - 1 = 0 3 + λ z - 3 = 0

Isolando λ da expressão 3 + λ z - 3 = 0 :

λ = - 3 z - 3   ( 3 )

Substituindoa relação ( 3 ) na expressão a seguir:

( 1 + λ x - 1 ) 2 + ( - 1 + λ y + 1 ) 2 - 1 = 0

( 1 - 3 z - 3 x - 1 ) 2 + ( - 1 - 3 z - 3 y + 1 ) 2 - 1 = 0

Reescrevendo a expressão acima:

z - 3 x z - 3 2 + - z - 3 y z - 3 2 = 1

z - 3 x 2 + z + 3 y 2 - z - 3 2 = 0

Ufa!! Acabou!!

Resposta

z - 3 x 2 + z + 3 y 2 - z - 3 2 = 0

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