Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução Γ cujo eixo é a reta l : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   0 ) e cuja diretriz é a curva

γ : x y = 1 z = 0

Passo 1

a) Vamo lá, se a gente analisar a equação da curva γ , vemos que ela é uma hipérbole no plano x O y e que seu eixo de rotação é seu eixo transverso. Looogo, a superfície Γ é um hiperboloide de duas folhas.

Se u O v é obtido de x O y a partir de uma rotação anti-horária de π 4 e o eixo z não se altera, então a equação da hipérbole γ no sistema u v z vai ser

γ : u 2 2 - v 2 2 = 1 z = 0 que gira em torno do eixo O u

A equação do hiperboloide de duas folhas, então, vai ser

u 2 2 - v 2 2 - z 2 2 = 1

Passo 2

Beleza, mas a gente quer essa equação em x y z não é? Então vamos fazer uma rotação de π 4 no plano x O y .

u = x + y 2 v = - x + y 2

Então, substituindo isso na equação do passo 1:

x + y 2 2 2 - - x + y 2 2 2 - z 2 2 = 1

x + y 2 2 - - x + y 2 2 - z 2 = 2

Abrindo os quadrados:

x 2 + 2 x y + y 2 - x 2 - 2 x y + y 2 - 2 z 2 = 4

4 x y - 2 z 2 = 4

Logo, a equação vai ser

2 x y - z 2 = 2

Resposta

2 x y - z 2 = 2

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
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