Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução obtida ao se girar a curva

γ :   y + z - 3 = 0 x - 3 = 0

Em torno da reta

l : X = 1 ,   0 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 1

A superfície que a gente quer é a união de todas as circunferências C que aparecem quando a gente gira o ponto Q = ( u , v , w ) , pertencentes a γ , em torno de l . Cada circunferência é a interseção de um plano perpendicular à reta l com uma esfera que tem seu centro em l . Pegou a idéia? Pra cada ponto na reta, a gente faz uma esfera com centro nele. Depois passa um plano perpendicular à reta, passando pelo ponto. A interseção das duas figuras é uma circunferência!

C :   y = λ x - 1 2 + y 2 + z - 3 2 = μ 2

Passo 2

Os pontos Q = ( u , v , w ) de interseção atendem a todas as equações, tanto de C quanto de l !

C : u = 3 v = λ v + w = 3 → w - 3 = - v = - λ u - 1 2 + v 2 + w - 3 2 = μ 2

Substituindo todas na equação da esfera:

3 - 1 2 + λ 2 + - λ 2 = μ 2

μ 2 = 2 λ 2 + 4

μ 2 = 2 y 2 + 4

Passo 3

Pra eliminar os parâmetros, a gente subtitui eles na equação da circunferência!

x - 1 2 + y 2 + z - 3 2 = μ 2

x - 1 2 + y 2 + z - 3 2 = 2 y 2 + 4

Que nos dá:

x - 1 2 - y 2 + z - 3 2 = 4

x - 1 2 4 - y 2 4 + z - 3 2 4 = 1

Esse é um hiperboloide de uma folha!

Resposta

x - 1 2 4 - y 2 4 + z - 3 2 4 = 1

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