Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Considere a função abaixo

f x = x 2 - 4 x + 3

  1. Restringindo o domínio da função ao conjunto { x ∈ R : x ≥ 3 } , determine a função inversa f - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Essa questão é uma continuação, então se você ficar com alguma dúvida do que veio antes, é só consultar!

Agora nossa função

f x = x 2 - 4 x + 3

Vai ter o domínio restringido, valendo apenas x ≥ 3 .

E com isso o problema pediu para determinarmos a função inversa

Mas você lembra como encontrar uma função inversa? Vem comigo!

Uma função normalmente é descrita assim

y = f ( x )

Temos uma variável independente: x e uma dependente   : y . Beleza?

A ideia da função inversa é (como o próprio nome diz) inverter! Vamos trocar o que é x por y , e o que é y por x ! E depois? Isolar o novo y ! Essa será nossa função inversa!

Mas relaxa, vou fazer com você! Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte:

f x = x 2 - 4 x + 3

E para x ≥ 3 temos que ela é sempre positiva! (isso eu sei pois já encontrei as raízes!) então podemos escrever essa função assim

y = x 2 - 4 x + 3

Tudo bem até aqui? Agora vamos inverter tudo!

x = y 2 - 4 y + 3

Beleza?

Passo 3

Nossa missão agora é isolar esse novo y !

x = y 2 - 4 y + 3

Vamos começar completando quadrado do lado direito

x = y 2 - 4 y + ( 4 - 4 ) + 3

x = y 2 - 4 y + 4 - 4 + 3

Aí temos

x = y - 2 2 - 1

x + 1 = y - 2 2

Tudo bem até aqui?

Agora vamos tirar a raiz dos dois lados!

± x + 1 = y - 2

Aí temos nossa função inversa

y = 2 ± x + 1

E é isso! Temos duas opções! Beleza? É isso! Até a próxima!

Resposta

y = 2 ± x + 1