Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

2 .   f ( x ) = l n ( | x - 4 | )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

f ( x ) = l n ( | x - 4 | )

queremos esboçar o seu gráfico! Então iremos ter que analisar diversas características! Como, intervalos de crescimento, decrescimento, máximos, mínimos, domínio, quando a função se anula, assim por diante! Vamos ao longo dos passos avaliar tudo que é possível! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, temos alguma limitação sobre o domínio da função? Ela é um logaritmo, portanto, não podemos ter números negativos dentro da função! Mas note que no argumento do logaritmo temos

| x - 4 |

portanto, esse número nunca será negativo! Mas ainda assim, teremos problemas quando esse argumento for nulo, já que não existe logaritmo de zero! Isso ocorre quando

x = 4

Temos então que o domínio de nossa função é

ⅅ = { x ∈ ℝ | x ≠ 4 }

Vamos tentar analisar agora o comportamento da função nos arredores de x = 4 !

Passo 3

Primeiro, note que quando o argumento do logaritmo for

| x - 4 | = 1

temos que a função se anula! Isso ocorre para que valores? Para x = 5 e x = 3 , quando estivermos dentro do intervalo

3 < x < 4 e 4 < x < 5

note que x = 4 é quando o logaritmo se anula e portanto estamos contando a partir deste valor. Neste pequeno intervalo, o módulo do argumento é menor do que 1 , e portanto, a função é negativa! Portanto, podemos garantir que o seguinte limite é verdade

l i m x → 4 f ( x ) = - ∞

já que quanto mais perto de x = 4 mais negativo é o nosso valor, maior em módulo, mas nunca bem definido, é uma assíntota vertical! E, para valores tais que x > 5 e x < 3 , temos o comportamento comum do logaritmo, mas espelhado em relação a x = 4 , o gráfico portanto, é da forma

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!