Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x = 1 x - x 3 ,   x > 0

  1. Calcule f - 1 ( 0 ) e f - 1 ' ( 0 )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa função aqui

f x = 1 x - x 3

E pediu para calcularmos a inversa dela em 0

f - 1 0

E a derivada da função inversa também em 0

f - 1 ' ( 0 )

Percebe que se trocarmos f x → x e x → y não conseguimos isolar y (que seria nossa inversa)? Então não é desse jeito que vamos encontrar a inversa de f ...

E agora? Como resolvemos isso?

A ideia aqui é analisar aquele 0 dentro da função inversa! Ele não é o nosso famoso x né, ele é nosso y ! Então queremos saber a inversa quando y = 0 ! Ou melhor, queremos saber o x que dá y = 0

Sacou?

Não? Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Procurando por f - 1 0 :

Primeiro aqui, vamos ter que nos atentar a um detalhe, quem é o 0 dentro dessa função inversa?

Veja que se f x = y então na função inversa... f - 1 y = x . Ou seja, é a inversa! Por comparação então...

f - 1 0

Concluímos que quem é 0 é o y !

y = 0

Vamos buscar então o x para esse y = 0 ...

y = f x = 1 x - x 3          

          1 x - x 3 = 0

1 - x 4 x = 0      

1 - x 4 = 0      

x 4 = 1  

Assim temos

x = 1     o u       x = - 1

Como o domínio comporta x > 0 , temos

x = 1

Beleza?

Como vimos, já que na inversa vale f - 1 y = x , logo...

f - 1 0 = 1

Passo 3

Agora vamos procurar por f - 1 ' 0 :

Para a derivada dessa inversa, usamos uma aplicação do teorema da função inversa:

f - 1 ' y = 1 f ' x

f - 1 ' 0 será dado pelo inverso da derivada aplicada a x = 1 :

f - 1 ' 0 = 1 f ' 1 = 1 - 1 + 3 1 4 1 2 = - 1 1 + 3

f - 1 ' 0 = - 1 4

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f - 1 ' 0 = - 1 4

f - 1 0 = 1