Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

3 .   f ( x ) = | l n ( | x + 1 | ) |

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

y = | l n ( | x + 1 | ) |

queremos esboçar o seu gráfico! Então iremos ter que analisar diversas características! Como, intervalos de crescimento, decrescimento, máximos, mínimos, domínio, quando a função se anula, assim por diante! Vamos ao longo dos passos avaliar tudo que é possível! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, temos alguma limitação sobre o domínio da função? Ela é um logaritmo, portanto, não podemos ter números negativos dentro da função! Mas note que no argumento do logaritmo temos

| x + 1 |

portanto, esse número nunca será negativo! Mas ainda assim, teremos problemas quando esse argumento for nulo, já que não existe logaritmo de zero! Isso ocorre quando

x = - 1

Temos então que o domínio de nossa função é

ⅅ = { x ∈ ℝ | x ≠ - 1 }

Vamos tentar analisar agora o comportamento da função nos arredores de x = - 1 !

Passo 3

Primeiro, note que quando o argumento do logaritmo for

| x + 1 | = 1

temos que a função se anula! Isso ocorre para que valores? Para x = 0 e x = - 2 , quando estivermos dentro do intervalo

- 2 < x < - 1 e - 1 < x < 0

note que x = - 1 é quando o logaritmo se anula e portanto estamos contando a partir deste valor. Neste pequeno intervalo, o módulo do argumento é menor do que 1 , e portanto, a função seria negativa! Já que poríamos garantir que o seguinte limite é verdade

l i m x → - 1 f ( x ) = - ∞

já que quanto mais perto de x = - 1 mais negativo é o nosso valor, maior em módulo, mas nunca bem definido, é uma assíntota vertical! No entanto, como estamos tomando o módulo da função como um todo, a função no intervalo

- 2 < x < - 1   e   - 1 < x < 0

é espelhada em relação ao eixo y , ou seja, o nosso limite na verdade é

l i m x → - 1 f ( x ) = ∞

E, para valores tais que x < - 2 e x > 0 , temos o comportamento comum do logaritmo, mas espelhado em relação a x = - 1 , o gráfico portanto, é da forma

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!