Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Deduza as fórmulas

arcsec ⁡ x - arccos ⁡ 1 x = 0

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa afirmação aqui

arcsec ⁡ x - arccos ⁡ 1 x = 0

E pediu para deduzirmos!

Mas como fazer isso?

Temos uma equação que resulta em 0 , então a primeira coisa a se fazer é jogar aquele arco cosseno para o outro lado!

arcsec ⁡ x = arccos ⁡ 1 x

Então a ideia aqui é a seguinte: lembrar de como deduzimos as funções arcos, com aquele nosso querido triângulo, e fazer essa relação!

Lembrando que em termos de catetos opostos, adjacentes e hipotenusas, as funções cosseno e secante são

cos ⁡ x = c .   a d j h i p

sec ⁡ x = h i p c .   a d j

Só com isso vamos provar que aquela fórmula lá! Belezinha?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos

arcsec ⁡ x - arccos ⁡ 1 x = 0

Isso é a mesma coisa que

arcsec ⁡ x = arccos ⁡ 1 x

E, se chamarmos arcsec ⁡ x de y , vamos ter que

y = arcsec ⁡ x

Assim

x = sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Isolando o cosseno,

cos ⁡ y = 1 x

Substituindo isso no lado direito da nossa equação, ficamos com

arccos ⁡ 1 x = arccos ⁡ cos ⁡ y

Agora, qual é o arco cujo cosseno é cosseno de y ?

É o próprio y , né?

Então

arccos ⁡ 1 x = arccos ⁡ cos ⁡ y = y

Passo 4

Então, no passo 1 dissemos que

y = arcsec ⁡ x

E no passo 2 achamos que

arccos ⁡ 1 x = y

Substituindo tudo isso na equação que quermos provar

arcsec ⁡ x - arccos ⁡ 1 x = 0

Provamos que

y - y = 0

Fim de papo! Outra forma de você ver isso é usando aquele triângulo! Lembrando que cos ⁡ θ = c .   a d j h i p

sec ⁡ θ = h i p c .   a d j

Usando que θ = arccos ⁡ 1 x = arccos ⁡ c .   a d j h i p , podemos formar um triângulo retângulo:

e com ele podemos escrever a secante desse ângulo!

sec ⁡ θ = x 1

E fazendo a função inversa para isolar θ

θ = arcsec ⁡ x

E quem é esse θ ? É nosso arccos ⁡ 1 x ! Então provamos de outra forma a mesma fórmula!

Beleza? É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o