Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

6. Seja b um número real e considere a função f x = x + 5 x + b . Escolhendo o contradomínio de f de forma que ela possua inversa, então f - 1 x = f x para b igual a

  1. - 5
  2. - 1
  3. 0
  4. 1
  5. 5

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar um valor de b para a função f x = x + 5 x + b . No qual a sua inversa seja igual a nossa função.

Então, para resolvermos, temos que lembrar o que é uma função inversa. Ela, como o nome já sugere, é exatamente o inverso da f x . Por exemplo, se temos uma função que soma x + 2 , a sua inversa vai subtrair 2 .

Encontrar a lei de formação da função inversa nem sempre é uma tarefa fácil, sendonecessário inverter as incógnitas x e y , bem como isolar y na nova equação.

Bora lá!

Passo 2

A nossa função é

f x = x + 5 x + b

Invertendo x e y , ficamos com

x = y + 5 y + b

Isolando y ,

x y + b = y + 5

x y + x b = y + 5

x y + y = 5 - x b

y x + 1 = 5 - x b

y = 5 - x b x + 1

Ou seja,

f - 1 x = 5 - x b x + 1

Agora vamos achar b .

Passo 3

Para encontrar b , vamos usar a condição que o problema nos deu,

f - 1 x = f x

Logo,

5 - x b x + 1 = x + 5 x + 1

Ajeitando

- x b = x

b = - 1

Prontinho!

Resposta

b