Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Deduza as fórmulas

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa afirmação aqui

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

E pediu para deduzir essa fórmula!

E agora, como fazer isso?

Esse é o exemplo perfeito para exercitarmos a derivada de uma função trigonométrica, usar o teorema da função inversa e de quebra ainda usar as relações de triângulo retângulo! Tudo junto!

Vamos relembrar algumas coisas?

A derivada da tangente:

tan ⁡ θ ' = sec 2 ⁡ θ

O teorema da função inversa:

f - 1 ' = 1 f '

E das relações trigonométricas! Em relação a catetos oposto e adjacente e hipotenusa, temos que a secante (já que ela aparece na derivada da tangente) é

sec ⁡ θ = h i p c .   a d j

Beleza? Agora é juntar todas essas informações!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos provar o seguinte

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Temos que derivar a função inversa da tangente, então aqui vamos usar o teorema da função inversa

arctan ⁡ x ' = 1 tan ⁡ x '

Beleza? Mas já sabemos quem é a derivada da tangente!

tan ⁡ θ ' = sec 2 ⁡ θ

Então, passando θ → x :

arctan ⁡ x ' = 1 sec 2 ⁡ x

Beleza? Guarda isso!

Passo 3

Agora vamos lá no triângulo para ver quem é quem! No triângulo retângulo

tan ⁡ x = c .   o p c .   a d j

E pelo teorema de Pitágoras

h i p 2 = c . o p 2 + c . a d j 2

então

h i p = x 2 + 1

Passo 4

Agora vamos retornar ao passo 2 !

arctan ⁡ x ' = 1 sec 2 ⁡ x

Lembrando que

sec ⁡ θ = h i p c .   a d j

E usando os valores de h i p e c . a d j do passo anterior temos o seguinte

h i p = x 2 + 1

c .   a d j = 1

Assim

sec ⁡ θ = x 2 + 1

E jogando isso na derivada do arco tangente

arctan ⁡ x ' = 1 sec 2 ⁡ x = 1 x 2 + 1 2 = 1 x 2 + 1

E é isso! Fórmula demonstrada!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o