Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Seja f x = 1 x - x 3 ,   x > 0

  1. Mostre que f tem inversa em 0 , ∞

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa afirmação aqui

5 ∈ N  

E pediu para mostrar que tem inversa em ( 0 , ∞ )

Mas como fazer isso?

Você precisa lembrar do Teorema da Função inversa. Ele nos diz que se f x é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) tem inversa.

Outro aspecto que precisamos levar em conta é que a função precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo!

Uma função injetora é quando temos apenas uma imagem para cada x do domínio. E uma função é sobrejetora é quando a imagem é igual o contradomínio! Ou seja, quando a imagem é o conjunto dos reais!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar pelo teorema da função inversa!

Derivamos f x :

f ' x = x - 1 - x 3 '

= - x - 2 - 3 x 2 = - 1 x 2 - 3 x 2

= - 1 + 3 x 4 x 2

Repara que 1 + 3 x 4 e x 2 são sempre positivos, o que gera que, com aquele sinal de menos, essa derivada seja sempre negativa, nunca igual a zero! Primeira condição satisfeita!

Agora vamos analisar se é injetora: a gente nota que a função é estritamente decrescente no seu domínio de x > 0 e nunca haverá dois valores de x gerando o mesmo valor de y , o que faz com que essa função seja injetora.

Por fim, temos que f x = 1 x - x 3 , para x próximo de 0 essa função explode para + ∞ , e quanto maior o valor de x , mais ela assume valores negativos pois o termo - x 3 irá ser predominante por cauda da potência ser mais alta. Então temos que a imagem são todos os reais.

Portanto, concluímos que f ( x ) é inversível pelo Teorema da Função Inversa.

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o