Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Enunciado

Deduza as fórmulas

cos ⁡ ( a r c s e n   x ) = 1 - x 2

Passo 1

E aí pessoal, tudo tranquilo? O problema nos deu essa afirmação aqui

cos ⁡ ( a r c s e n   x ) = 1 - x 2

E pediu para demonstrarmos!

Mas você sabe por onde começar?

Primeiro você precisa identificar que dentro daquele cosseno tem uma outra função: a inversa do seno! Então a ideia aqui é fazer uma pequena mudança de variáveis e dizer que aquela inversa ali é y , e depois?

Depois usar a relação fundamental!

s e n 2 y + cos 2 ⁡ y = 1

E é só isso que você precisa lembrar! Quer que te mostre? Cola comigo!

Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos lá. Uma função dentro do cosseno parece um pouco estranho, né!?

Então vamos chamar essa função de y , assim

arcsen ⁡ x = y

E então ficamos com

cos ⁡ y = 1 - x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Ótimo, agora que já deixamos nossa função com um acara um pouco mais agradável (sem função dentro de função), vamos voltar a primeira relação que achamos

arcsen ⁡ x = y

Se isso é verdade, então

x = sen ⁡ y

A gente não é Ana Maria Braga, mas vamos reservar isso um pouquinho, pra usar depois.

Passo 4

Adivinha o que vamos usar agora?

Aquilo que a gente quase sempre usa quando temos seno e cosseno.

Isso mesmo, a relação fundamental da trigonometria!!

sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Isolando o cosseno, ficamos com cos ⁡ y = ± 1 - sen 2 ⁡ y

E aí, já tá vendo onde eu quero chegar?

No passo 2 a gente achou que

x = sen ⁡ y

Substituindo isso na equação do cosseno que acabamos de achar, temos que

cos ⁡ y = ± 1 - x 2

E, se considerarmos

- π 2 ≤ y ≤ π 2

Temos que nesse intervalo, cos ⁡ y ≥ 0 , então

cos ⁡ y = 1 - x 2

E quem era y mesmo?

y = arcsen ⁡ x

Assim, provamos que

cos ⁡ arcsen ⁡ x = 1 - x 2

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o