Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 11, Questão 4

Seja F x , y = e x + y , e x - y com domínio U = R 2

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y R 2
  2. Determine D F - 1 F - 1 , - 1

Passo 1

a )

Para verificar se a função é inversível temos que achar o jacobiano dessa função. Para isso primeiro identificamos quem são f 1 e f 2 , nesse caso porque temos R 2 .

f 1 = e x + y

f 2 = e x - y

Agora vamos ter

J = f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y = e x + y e x + y e x - y - e x - y

Já temos o jacobiano em um ponto qualquer

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ela ser inversível o determinante desse jacobiano deve ser diferente de 0

D e t J x , y = e x + y - e x - y - e x + y e x - y = - e 2 x - e 2 x = - 2 e 2 x 0

Essa função é sempre diferente de 0 independente do valor de x , logo a função é inversível

Passo 3

b )

Como as funções f 1 e f 2 são deriváveis e o determinante do jacobiano é diferente de 0 podemos aplicar o teorema da função inversa. Lembrando que nesse caso, como ele disse que quer no ponto F - 1 , - 1 , então

X 0 = - 1 , - 1

Y 0 = F - 1 , - 1 = e - 1 - 1 , e - 1 - - 1 = e - 2 , 1

Teremos

F - 1 e - 2 , 1 ' = F ' - 1 , - 1 - 1

F - 1 e - 2 , 1 ' = e - 1 - 1 e - 1 - 1 e - 1 - - 1 - e - 1 - - 1 - 1 = e - 2 e - 2 1 - 1 - 1

Usando a álgebra linear vamos ter

F - 1 e - 2 , 1 ' = e - 2 e - 2 1 - 1 - 1 = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2

Resposta

F - 1 e - 2 , 1 ' = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2

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