Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 11, Questão 3

3. Seja f : U = R 3 f U = R 3 x , y , z u , v , w = x , y 3 , z 5

a) Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função f - 1 :   f U = R 3 U = R 3 u , v , w x , y , z

b) Encontre o jacobiano u , v , w x , y , z em qualquer x , y , z

c) Verifique que u , v , w x , y , z = 0 em qualquer x , 0 , z e em qualquer x , y , 0

d) Os itens a )   e   c )   contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.

Passo 1

a)

A função f - 1 é da forma

f U = R 3 U = R 3 u , v , w x , y , z

A função f faz o seguinte:

u = x

v = y 3

w = z 5

A função f - 1 é a que faz o caminho contrário. Ou seja:

x = u

y = v 3

z = w 5

Portanto:

f - 1 :         f U = R 3 U = R 3                                                                       u , v , w x , y , z = u , v 3 , w 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Temos que encontrar o jacobiano. Lembrando que :

f : U = R 3 f U = R 3 x , y , z u , v , w = x , y 3 , z 5

Então f 1 = x ,   f 2 = y 3 ,   f 3 = z 5

J F = f 1 x f 1 y f 1 z f 2 x f 2 y f 2 z f 3 x f 3 y f 3 z = 1 0 0 0 3 y 2 0 0 0 5 z 4

Passo 3

c) Demonstrar que det J F = 0 para x , 0 , z   e   x , y , 0

det J F = 15 y 2 z 4

Para x , 0 , z temos:

det J F = 0

Para x , y , 0 temos:

det J F = 0

Passo 4

d) Não, pois a hipótese do teorema é det D f X 0 0 , e nada afirma sobre det D f X 0 = 0 . Na verdade, esse exemplo mostra que pode existir inversa, mesmo quando det D f X 0 = 0 , ou seja, o exemplo mostra que a recíproca do teorema não é valida.

Resposta

a) f - 1 :         f U = R 3 U = R 3                                                                       u , v , w x , y , z = u , v 3 , w 5

b) J F = 1 0 0 0 3 y 2 0 0 0 5 z 4

d) Não, pois a hipótese do teorema é det D f X 0 0 , e nada afirma sobre det D f X 0 = 0 . Na verdade, esse exemplo mostra que pode existir inversa, mesmo quando det D f X 0 = 0 , ou seja, o exemplo mostra que a recíproca do teorema não é valida.

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