Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 11, questão 3.

Seja

f : U = R 3 f U = R ³

x , y , z u , v , w = ( x , y 3 , z 5 )

  1. Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função
  2. f - 1 : f U = R 3 U = R 3  

    u , v , w ( x , y , z )

  3. Encontre o jacobiano u , v , w x , y , z em qualquer ( x , y , z )
  4. Verifique que u , v , w x , y , z = 0 em qualquer ( x , 0 , z ) e em qualquer ( x , y , 0 )
  5. Os itens (b) e (c) contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.

Passo 1

a )

Temos

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

Temos um vetor

Y = u , v , w = x , y 3 , z 5

Escrito em função do vetor

X = ( x , y , z ) .

Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor X como uma função do vetor Y :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá:

u = x

x = u

E

v = y 3

y = v 3

E

w = z 5

z = w 5

Passo 3

Então

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

F - 1 Y = F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5 = x , y , z = X  

Passo 4

b )

O jacobiano u , v , w x , y , z representa o determinante da matriz derivada da função F , ou seja F ' .

Vamos calcular primeiro a matriz derivada então para qualquer ( x , y , z )

F ' X = J F X = u x u y u z v x v y v z w x w y w z = 1 0 0 0 3 y ² 0 0 0 5 z 4

Passo 5

O Jacobiano será então:

det F ' X = 1 0 0 0 3 y 2 0 0 0 5 z 4 = 15 y 2 z 4

Passo 6

c )

Para ( x , 0 , z ) , temos

15 ( 0 ) 2 z 4 = 0

Para ( x , y , 0 ) , temos

15 y 2 0 4 = 0

Passo 7

d )

A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que F ' X deve possuir inversa e isso acontece se det F ' X 0 , mas ele não afirma nada sobre quando det F ' X = 0 . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se det F ' X = 0 não significa que F ' X não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.

Resposta

  1. F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5
  2. det F ' X = 15 y 2 z 4
  3. 15 ( 0 ) 2 z 4 = 0 e 15 y 2 0 4 = 0
  4. A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que F ' X deve possuir inversa e isso acontece se det F ' X 0 , mas ele não afirma nada sobre quando det F ' X = 0 . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se det F ' X = 0 não significa que F ' X não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.

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