Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Passo 1

Eu sei, eu sei, parece que o exercício está falando grego. Mas vamos tentar entender o que é que ele está querendo agora. Encontrar a curva ortogonal, significa encontrar aquela que é perpendicular à nossa família de curvas. Para isso, precisamos começar determinando o coeficiente angular da nossa curva, a derivada.

x y = c

y = c x

Derivando teremos

y ' =   - c x 2

Podemos substituir

c = x y

E ficamos com

y ' = - x y / x 2

y ' = - y x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvar ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90°C com as nossas curvas iniciais. Então, vamos fazer

y ' = - 1 - y x

Ou seja

y ' = x y

Passo 3

Perceba que agora chegamos em uma EDO separável, e basta integrar dos dois lados para encontrar a nossa curva.

y ' = x / y

d y d x = x y

y   d y = x   d x

Ficamos com

∫ y   d y = ∫ x   d x

Integrando

y 2 2 = x 2 2 + C

Rearranjando

x 2 - y 2 = C

Note que teríamos constantes de integração dos dois lados mas podemos juntar as duas em C para facilitar nossa vida.

Resposta

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