Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Exercício nº 25 da lista 9 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Achar as trajetórias ortogonais da seguinte família.

OBS: p é um parâmetro

x 2 / 3 + y 2 / 3 = p 2 / 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem à família de hipérboles. E para isso basta derivar a equação em relação à x .

2 3 x - 1 / 3 + 2 3 y - 1 / 3 y ' =   0

y - 1 / 3 y ' =   - x - 1 / 3

d y d x = - y 1 / 3 x 1 / 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a família de curvas que estamos procurando é solução da EDO

d y d x = - 1 - y 1 / 3 x 1 / 3

d y d x = x 1 / 3 y 1 / 3

Passo 3

Resolvendo a EDO

d y d x = x 1 / 3 y 1 / 3

Essa daí acho que é a mais separáveis de todas

y 1 / 3   d y = x 1 / 3 d x

Integrando dos dois lados

y 1 / 3   d y = x 1 / 3   d x y 4 / 3 4 / 3 = x 4 / 3 4 / 3 + C 1

y 4 / 3 4 / 3 - x 4 / 3 4 / 3 = C 1

y 4 / 3 - x 4 / 3 = 4 C 1 3

Resposta

y 4 / 3 - x 4 / 3 = 4 C 1 3

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