Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é resolver a EDO e depois pensamos sobre o q eu ele disse sobre tangenciar o eixo x . Temos uma EDO de primeira ordem, então vamos dar nome aos bois.

y ' + 2 3 y = 1 - x 2

A x = 2 3

B x = 1 - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 2 3 d x = 2 3 x

I x = e 2 3 x

Passo 3

Calculando ∫ I x B x d x

∫ I x B x d x = ∫ e 2 3 x 1 - x 2 d x = ∫ e 2 3 x d x - 1 2 ∫ e 2 3 x x d x

∫ I x B x d x = - 3 8 e 2 3 x ( 2 x - 7 )

Passo 4

Usando a fórmula agora podemos encontrar y ( x )

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

y x = 1 e 2 3 x - 3 8 e 2 3 x 2 x - 7 + C

y x = - 3 8 2 x - 7 + C e - 2 3 x

Passo 5

Agora que vem a questão da solução tangenciar o eixo x . Pelas informações que ele deu pra gente, vamos supor que a nossa curva tangencie o eixo x no ponto ( 0,0 ) . Para que isso ocorra temos que y ' 0 = 0 .

y ' x = - 3 4 - 2 3 C e - 2 3 x

y ' 0 = - 3 4 - 2 3 C = 0

C = - 9 8

Logo a nossa EDO será

y x = - 3 8 2 x - 7 - 9 8 e - 2 3 x

y 0 = 21 8 - 9 8 = 12 8 = 3 2

y 0 = 3 2

Resposta

y 0 = 3 2

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