Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Ver Teoria

Enunciado

Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x = k y ² , onde k é uma constante arbitrária. Faça uma figura ilustrando as famílias.

Passo 1

Lembra lá o que são trajetórias ortogonais: são nada mais que uma família de curvas que corta outra família de curvas de maneira ortogonal, ou seja, fazendo 90 ° .

A primeira coisa a ser feita é determinar a EDO da própria família, isto é, determinar seus coeficientes angulares. Fazemos isso derivando com respeito a x a equação que define a família. Ficando com:

1 = k . 2 y y '

y ' = 1 2 k y

Como k = x y 2

y ' = y 2 x

Segue o bonde!

Passo 2

Agora precisamos encontrar a família que tenha um coeficiente angular (vou denotar por y ' de novo) que respeite a seguinte relação, já que precisamos que sejam ortogonais:

y ' = - 2 x y

Resolvendo a EDO

∫ y d y = ∫ - 2 x d x

y 2 2 = - x 2 + C   ⇒   y 2 2 + x 2 = C

OPAAA! Essa família é de elipses!

Passo 3

Desenhando as famílias:

Resposta

y 2 2 + x 2 = C

Exercícios de Livros Relacionados

y = k x Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas usando uma calculadora (ou um computador). Desenhe vários membros de cada família na mesma tela.
y 2 = k x 3 Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas usando uma calculadora (ou um computador). Desenhe vários membros de cada família na mesma tela.
Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.6 - k x 2 + y 2 = 1
Os dados na Tabela 9.4 foram coletados com um detector de movimento e um CBLTM ( computer based learning - aprendizagem assistida por computador) por Valerie Sharritts, uma professora de matemática da
11 - Mostre que as curvas 2 x 2 + 3 y 2 = 5 e y 2 = x 3 são ortogonais.