Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Passo 1

Primeiro vamos lembrar um pouco das equações que precisamos quando tratamos de trajetória ortogonal. Vamos achar a EDO associada à nossa equação no formato.

y ' = f ( x , y )

E depois acharemos a EDO da trajetória ortogonal da seguinte forma.

y ' = - 1 f x , y

Vamos fazer isso com a nossa equação.

2 y y ' = 3 c 1 x 2

y ' = 3 2 c 1 x 2 y  

Sendo assim, a EDO que devemos resolver será.

y ' = - 2 y 3 c 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de resolvermos a EDO devemos trocar c 1 por uma função de y   e   x .

y 2 = c 1 x 3

c 1 = y 2 x 3

Logo a EDO será.

y ' = - 2 x 3 y

Agora basta resolver.

Passo 3

Colocando no formato de equação separável.

3 y d y = - 2 x d x

Integrando as duas equações.

∫ 3 y d y = ∫ - 2 x d x

3 2 y 2 = - x 2 + C

3 y 2 + 2 x 2 = 2 C

Chamando 2 C = c 2

3 y 2 + 2 x 2 = c 2

Resposta

3 y 2 + 2 x 2 = c 2

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