Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar a equação da família de círculos que contém os pontos dados. Da geometria analítica temos que a equação de um circulo de raio D centrado em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) será

x - x 0 2 + y - y 0 2 = D 2

Para depois analisarmos a sua derivada e acharmos a sua família de curvas ortogonais.

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Passo 2

Usando o ponto ( 1,0 ) que deve estar no círculo.

1 - x 0 2 + 0 - y 0 2 = D 2

1 + x 0 2 - 2 x 0 + y 0 2 = D 2

Usando o outro ponto.

- 1 - x 0 2 + 0 - y 0 2 = D 2

1 + x 0 2 + 2 x 0 + y 0 2 = D 2

Subtraindo as duas equações teremos

4 x 0 = 0

x 0 = 0

Substituindo essa informação na equação teremos.

y 0 2 = D 2 - 1

y 0 = ± D 2 - 1

Nossa esse mais ou menos tá bem feio, mas não tem jeito. Vamos inserir y 0 na equação lembrando que o mais ou menos vai ser invertido para menos ou mais graças ao sinal negativo.

x 2 + y ∓ D 2 - 1 2 = D 2

Vamos abrir essa equação.

x 2 + y 2 ∓ 2 y D 2 - 1 + D 2 - 1 = D 2

- x 2 + y 2 - 1 2 y = ∓ D 2 - 1

Essa equação ta feia mas nesse formato ela vai ajudar a gente bastante.

Passo 3

Vamos determinar a EDO dessa família de círculos derivando aquela nossa primeira equação antes de abrirmos em função de x.

2 x + 2 y ∓ D 2 - 1 d y d x = 0  

Disso temos

d y d x = - x y ∓ D 2 - 1  

Para removermos esse D 2 - 1 só temos que usar a outra equação e dessa forma teremos a seguinte EDO.

d y d x = - x y - x 2 + y 2 - 1 2 y = - 2 y x y 2 - x 2 + 1

Passo 4

Agora vamos lembrar o que sabemos da teoria de trajetórias ortogonais. A EDO da família de curvas ortogonais vai ser definida por.

d y d x = - 1 f x , y ,     f x , y = - 2 y x y 2 - x 2 + 1

Logo a EDO que devemos resolver será

d y d x = y 2 - x 2 + 1 2 y x

Nossa grande questão agora será resolver essa EDO, vamos manipular ela um pouco.

y ' = 1 2 x y + 1 - x 2 2 x y - 1

y ' - 1 2 x y = 1 - x 2 2 x y - 1

Agora já está com uma cara de equação de Bernoulli né? Vamos resolve-la.

Passo 5

Como sabemos da teoria de equação de Bernoulli nós temos que dividir a EDO por y - 1 .

y ' y - 1 - 1 2 x y y - 1 = 1 - x 2 2 x  

y y ' - 1 2 x y 2 = 1 - x 2 2 x

Fazendo a substituição de variável u = y 1 - - 1 = y 2

u ' = 2 y y '

Realizando as mudanças na equação

u ' - 1 x u = 1 - x 2 x

Agora basta resolver essa EDO linear de primeira ordem onde temos

A x = - 1 x

B x = 1 - x 2 x

Passo 6

Calculando I x = e ∫ A x d x

  I x = e ∫ - 1 x d x = e - ln ⁡ x = e ln ⁡ 1 x = 1 x

Passo 7

Calculando ∫ I x B ( x ) d x

∫ I x B x d x = ∫ 1 - x 2 x 2 d x = ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 d x

∫ I x B x d x = - 1 x - x  

Passo 8

Agora temos que usar a nossa formula para calcular a solução da EDO.

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

u = 1 1 x - 1 x - x + c = - 1 - x 2 + c x

Vamos voltar para y .

y 2 = - 1 - x 2 + c x

Chamando c = 2 C poderemos fazer a seguinte manipulação.

y 2 = - 1 - x 2 - 2 C x + C 2 + C 2

y 2 + x - C 2 = C 2 - 1

Resposta

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