Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

UFPE, Cálculo 4, 1º EE - 2019.1, Questão 3

Considere a família de curvas

e x cos y = K

  1. Encontre a equação diferencial de primeira ordem que tem como solução geral esta família.
  2. Determine a equação diferencial que tem como solução geral a famiília ortogonal da família dada.
  3. Encontre a família ortogonal da família dada.

Passo 1

Para achar a equação diferencial desta equação, primeiro a gente vai derivar:

e x cos y = K

  d d x e x cos y =   d d x [ K ]

e x cos y - e x y ' s e n ( y ) = 0

cos y - y ' s e n ( y ) = 0

y ' s e n y = cos y

y ' = cos y s e n y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa f x , y = cos y   s e n y , a EDO que tem como solução geral à família ortogonal é dada por:

y ' = - 1   f ( x , y )

y ' = - 1   cos y   s e n y = - sen y   c o s y

Passo 3

Seguindo da resposta da letra b, nós vamos agora reescrever a equação da seguinte forma:

d y   d x = - sen y   c o s y

cos y   s e n y d y = - d x

Agora nós vamos integrar os dois lados:

cos y   s e n y d y = - d x

ln s e n y + C 1 = - x + C 2

ln s e n y = - x + C

ln s e n y + x = C

ln s e n y + l n ( e x ) = C

ln s e n y e x ) = C

s e n ( y ) e x = e C

s e n ( y ) e x = K

K é uma constante arbitrária, e assim nós achamos na família ortogonal da nossa equação diferencial, que é dada por:

s e n ( y ) e x = K

Resposta

Letra a) y ' = cos y s e n y é a equação diferencial de primeira ordem da família de curvas.

Letra b)   y ' = - sen y   c o s y é a equação diferencial que tem como solução a família ortogonal.

Letra c)   s e n ( y ) e x = K é a família ortogonal da família dada.

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