Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

Exercício nº 25 da lista 9 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Encontre as curvas da trajetórias ortogonais de 3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x que passam por 0,10

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem à curva em relação à x .

3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x

3 y 2 + 6 x y y ' = 3 c 1

6 x y y ' = 3 c 1 - 3 y 2

y ' = 3 c 1 - 3 y 2 6 x y

Vamos tirar esse c 1 dai, vamos pegar a equação original e isolar o c 1

3 x y 2 - 2 = 3 c 1 x

c 1 = 3 x y 2 - 2 3 x

Então, trocando o valor de c 1 naquela equação que achamos de y ' vai ficar

y ' = 3 3 x y 2 - 2 x - 3 y 2 6 x y

y ' = 3 x y 2 - 2 x - 3 y 2 6 x y = - 1 3 x 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a família de curvas que estamos procurando é solução da EDO

d y d x = - 1 - 1 3 x 2 y

d y d x = 3 x 2 y

Passo 3

Resolvendo a EDO

d y d x = 3 x 2 y

d y y = 3 x 2   d x

Integrando dos dois lados

d y y = 3 x 2 d x ln y = 3 x 3 3 + C 2

ln y = 3 x 3 3 + C 2 = x 3 + C 2

Passo 4

Ele quer que passe pelo ponto 0,10 então

ln 10 = 0 3 + C 2

ln 10 = C 2

A família vai ser

ln y = x 3 + ln 10

ln y 10 = x 3

y = 10 e x 3

Resposta

y = 10 e x 3

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