Enunciado

Em um dia de verão, quando a temperatura marca cerca de 30 ° C , a 1   a t m , precisamos resfriar uma lata de refrigerante. Para fazer isso vamos manter um continuamente molhado em volta da latinha e colocá-la em frente a um ventilador. Considerando uma umidade relativa de 40 % , determine a temperatura da bebida quando as condições permanentes forem atingidas.

Passo 1

Bom, vejamos o que temos aqui… O ar sai do ventilador direto para uma latinha embrulhada em um pano úmido… Hummm… Estamos então tentando esfriar ela por transferência simultânea de calor e de massa, certo?

O enunciado deu pra gente a temperatura, a pressão e a umidade relativa do ar… Mas pra seguir em frente precisamos fazer algumas considerações, ok?

Vamos primeiro desprezar os efeitos da radiação e depois considerar o ar e o vapor d'água como gases ideais… Agora sim vamos partir para achar o que o problema quer.

Passo 2

Agora vamos visitar a tabela A-9 e A-15, para pegar alguns dados da água e do ar seco, ok? Mas para isso precisamos de uma temperatura média, então vamos encontrar ela assim:

T m é d i o = T ∞ + T s 2

Ops! Temos o T ∞ , mas não temos a temperatura da superfície… Então vamos considerar uma, tranquilo? Vamos supor que:

T s = 20 ° C

Agora sim podemos ter uma temperatura média, e ela será:

T m é d i o = 30 + 20 2

T m é d i o = 25 ° C

Agora sim, visitando as tabelas, temos como dados adicionais para a água:

h f g = 2,454   k J / k g P r = 2,34   k P a

Opa! Mais ainda está faltando um dado importante para a água, o valor de P r na temperatura de 30 ° C , ele será:

P r = 4,25   k P a

Agora sim, vamos as propriedades do ar seco:

c p = 1007   k J / k g . ° C α = 2,141 ⋅ 10 - 5   m 2 / s

Agora olhando para a tabela A-1, temos as massas molares deles sendo:

M á g u a = 18   k g / k m o l M a r = 29   k g / k m o l

E visitando a tabela 14-4, temos a difusividade do vapor de água no ar a 25 ° C , como sendo:

D H 2 O ,   a r = 2,50 ⋅ 10 - 5   m ² / s

Passo 3

Beleza! Agora que reunimos todos os dados possíveis, vamos achar a temperatura! Para isso podemos usar a equação de Chilton-Colburn, que diz:

T s = T ∞ - h f g c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M M ⋅ P v ,   s - P v ,   ∞ P

Xiii! Deu ruim! Tá faltando gente ali ainda pra gente calcular a temperatura… Vamos começar calculando o número de Lewis, ok?

L e = α D A B

Nós temos esses dados, então substituindo:

L e = 2,141 ⋅ 10 - 5 2,5 ⋅ 10 - 5

Teremos então:

L e = 0,856

Agora precisamos encontrar a pressão de vapor na superfície… E como nós temos o ar da superfície saturado ela vai ser igual a pressão de saturação da água na temperatura da superfície:

P v ,   s = 2,34   k P a

E a pressão de vapor do ar distante da superfície será:

P v ,   ∞ = ϕ ⋅ P s a t @ T ∞

Teremos então:

P v ,   ∞ = ϕ ⋅ P s a t @ 30 ° C

E substituindo nossos valores:

P v ,   ∞ = 0,40 ⋅ 4,25

Ficaremos com:

P v ,   ∞ = 1,70   k P a

E não podemos esquecer, que a pressão dada foi de:

P = 1   a t m   →   101,3   k P a

Passo 4

Uhul! Agora sim temos todos os dados, vamos voltar lá na nossa equação da temperatura:

T s = T ∞ - h f g c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M á g u a M a r ⋅ P v ,   s - P v ,   ∞ P

Substituindo nossos valores:

T s = 30 - 2,454 1007 ⋅ 0,856 2 / 3 ⋅ 18 29 ⋅ 2,34 - 1,70 101,3

E temos como a temperatura da bebida na superfície sendo:

T s = 19,4 ° C

Prontinho! Arrasamos!!

Resposta

T s = 19,4 ° C

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