Enunciado

Uma piscina aquecida de 25   m X 25   m e 1,5   m de profundidade é mantida a uma temperatura constante de 30 ° C em um local onde a pressão atmosférica é 1   a t m . Considerando que o ar ambiente está a 20 ° C , a umidade relativa é 60 % e a temperatura efetiva do céu é 0 ° C . Determine a taxa de perda de calor a partir da superfície superior da piscina por (a) Radiação (b) Convecção e (c) Evaporação. (d) Considerando as perdas de calor para o chão desprezíveis, determine o tamanho do aquecedor.

Passo 1

Fala aí! Parece que essa questão vai nos dar trabalho, né? Mas relaxa que tamo junto e vai dar certo!

Vamos começar anotando nossos dados, beleza?

L = 25   m T s = 30 ° C → 303   K T ∞ = 20 ° C → 293   K

P = 1   a t m → 101,3   k P a U R = 0,6 T c é u = 0 ° C → 273   K

Com esses dados aí a gente precisa achar a taxa de perda de calor por radiação, convecção e evaporação e com esses resultados encontrar o tamanho do aquecedor… Partiu!

Passo 2

Para encontrar a taxa de transferência de calor por radiação, vamos usar a seguinte equação:

Q r a d = σ ⋅ A ⋅ T s 4 - T c é u 4

Lembrando que σ = 5,67 ⋅ 10 - 8   W / m . K , vamos ficar com:

Q r a d = 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅ 303 4 - 273 4

Teremos uma taxa de radiação igual a:

Q r a d = 1,02 ⋅ 10 5   W

Passo 3

Agora vamos buscar a taxa de transferência de calor por convecção, ok? Para isso vamos usar a equação:

Q c o n v = h c a l o r ⋅ A ⋅ T s - T ∞

Ops! Quem é esse h c a l o r ? Precisamos encontrar ele! Vamos nessa! Pra começar, temos que achar uma temperatura média e buscar alguns dados adicionais, ok?

T m é d i o = T s + T ∞ 2

Vamos ter:

T m é d i o = 30 + 20 2

T m é d i o = 25 ° C → 298   K

Bom, com essa temperatura temos as seguintes propriedades para o ar:

υ = 1,562 ⋅ 10 - 5   m ² / s P r = 0,7296 k = 0,02551   W / m . K

E com esses dados adicionais a gente pode achar o número de Rayleigh:

R a = g ⋅ β ⋅ T s - T ∞ ⋅ L c 3 υ 2 ⋅ P r

Substituindo nossos dados:

R a = 9,81 ⋅ 1 298 ⋅ 30 - 20 ⋅ 25 ⋅ 25 4 ⋅ 25 3 1,562 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7296

O número de Rayleigh será então:

R a = 2,4 ⋅ 10 11

Com ele a gente encontra o número de Nusselt:

N u = 0,15 ⋅ R a 1 / 3

N u = 0,15 ⋅ 2,4 ⋅ 10 11 1 / 3

N u = 932,6

E agora sim podemos encontrar o coeficiente convectivo! Ufaaa! Usando essa relação aqui:

N u = h c a l o r ⋅ L c k

Vamos ter, nosso coeficiente como sendo:

h c a l o r = N u ⋅ k L c

Substituindo os valores:

h c a l o r = 932,6 ⋅ 0,02551 25 ⋅ 25 4 ⋅ 25

Ficaremos com:

h c a l o r = 3,81   W / m ² . K

Show! Nosso calor de convecção será:

Q c o n v = 3,81 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅ 30 - 20

Q c o n v = 2,38 ⋅ 10 4   W

Passo 4

Agora é a vez da taxa de calor por evaporação, vamos lá! Ela pode ser encontrada usando a seguinte equação:

Q e v = m A ⋅ Δ H e v

Eita! Não temos nenhuma das propriedades! Relaxa! No caso da entalpia de vaporização da água, ela é tabelada e na temperatura de 30 ° C , será:

Δ H e v = 2431000   J / k g

Mas precisamos da taxa mássica! Para achar ela vamos começar usando a seguinte relação:

h c a l o r = ρ ⋅ c p ⋅ h m a s s a

Isolando o que queremos, ficamos com:

h m a s s a = h c a l o r ρ ⋅ c p

Usando as propriedades do ar, para a temperatura de 25 ° C , vamos ter que:

ρ = 1,184   k g / m ³ c p = 1007   J / k g ⋅ K

Sendo assim, ficaremos com:

h m a s s a = 3,81 1,184 ⋅ 1007

h m a s s a = 0,00319   m / s

Agora que chegamos até aqui, vamos buscar a taxa molar de transferência de massa, por essa equação:

N A = h m a s s a ⋅ A ⋅ C ⋅ y A ,   0 - y A ,   ∞

Vish! Não temos nem a concentração, nem as frações molares de água na superfície da piscina e no ar… Vamos calcular isso então!

Podemos achar a concentração assim:

C = P R ⋅ T

Substituindo nossos dados, ficamos com:

C = 101300 8,314 ⋅ 293

C = 0,0416   k m o l / m ³

Beleza! E a nossa fração molar podemos usar a equação:

y A = P A P

E considerando que o ar na superfície está saturado, então P A ,   0 = P v a p o r , e como a umidade relativa é de 30 % , temos que P A ,   ∞ = 0,6 ⋅ P v a p o r , sendo assim ficamos com:

y A ,   0 = P v a p o r P

Sendo a pressão de vapor da água P v a p o r = 2,339   k P a , a 20 ° C , e sendo P v a p o r = 4,246   k P a , a 30 ° C , podemos achar que:

y A ,   0 = 4,246 101,3

y A ,   0 = 0,0419

E para o ar:

y A ,   ∞ = 0,6 ⋅ P v a p o r P

y A ,   ∞ = 0,6 ⋅ 2,339 101,3

y A ,   ∞ = 0,01385

Aeee! Agora vamos achar a transferência de massa, como sendo:

N A = 0,00319 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅ 0,0416 ⋅ 0,0419 - 0,01385

N A = 2,33 ⋅ 10 - 3   k m o l / s

Agora vamos transformar isso em taxa mássica, assim olha só:

m A = M A ⋅ N A

m A = 18 ⋅ 2,33 ⋅ 10 - 3

m A = 4,19 ⋅ 10 - 2   k g / s

E finalmente podemos encontrar a taxa de evaporação:

Q e v = 4,19 ⋅ 10 - 2 ⋅ 2431000

Q e v = 1,02 ⋅ 10 5   W

Passo 5

Opa! Agora só falta encontrar a potência do nosso aquecedor… estamos quase lá!

A potência será dada assim:

P a q u e c e d o r = Q c o n v + Q r a d + Q e v

Substituindo os valores que encontramos:

P a q u e c e d o r = 2,38 ⋅ 10 4 + 1,02 ⋅ 10 5 + 1,02 ⋅ 10 5

Ficaremos com:

P a q u e c e d o r = 2,28 ⋅ 10 5   W

Enfim, Conseguimos!

Resposta

  1. Q r a d = 1,02 ⋅ 10 5   W
  2. Q c o n v = 2,38 ⋅ 10 4   W
  3. Q e v = 1,02 ⋅ 10 5   W
  4. P a q u e c e d o r = 2,28 ⋅ 10 5   W

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