Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

Considere o sólido E exterior ao cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e interior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a massa total do sólido sabendo que a densidade de massa em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto à origem.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos um sólido E delimitado inferiormente pelo cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Precisamos calcular a massa desse sólido, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional a distância do ponto à origem. Mas, como calculamos a massa de um corpo usando integração? É bastante direto! Precisamos calcular a seguinte integral tripla

M = ∫ ∫ ∫ E ρ   d V

em que ρ é a densidade de massa do sólido E . Vamos precisar determinar um formato para esta densidade e obter os limites de integração que descrevem o nosso sólido! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos discutir um formato para a nossa densidade. Ele diz que para um ponto P = ( x , y , z ) , temos que a densidade é proporcional a distância deste ponto à origem, a distância de um ponto qualquer à origem é dado como a norma do vetor

O P → = ( x - 0 , y - 0 , z - 0 ) = ( x , y , z )

Usando a definição de norma, temos que

| O P | → = x 2 + y 2 + z 2

Portanto, a densidade pode ser definida como

ρ = k   | O P | → = k x 2 + y 2 + z 2

em que k é uma constante de proporcionalidade! Portanto, precisamos resolver a seguinte integral tripla

M = k ∫ ∫ ∫ E x 2 + y 2 + z 2   d V

Beleza! Vamos analisar a nossa região agora!

Passo 3

A região delimitada é a seguinte

é como se cavasse um buraco na esfera com o formato do cone! Agora, o segredo é escolher um sistema de coordenadas que facilite a nossa vida, tendo em vista o formato da densidade ρ e as simetrias de nosso problema, parece que o melhor caminho é usar coordenadas esféricas da forma

x = r   c o s ( ϕ ) s e n ( θ )

y =   r   s e n ( ϕ ) s e n ( θ )

z =   r   c o s ( θ )

nestas coordenadas temos que o elemento de volume é dado por d V = r 2 s e n ( θ ) d r d θ d ϕ . E, portanto, a nossa integral se torna

M = k ∫ 0 2 π ∫ 0 θ [ r , ϕ ] ∫ o r [ θ , ϕ ] r 3   s e n ( θ )   d r d θ d ϕ

em que se pode identificar que x 2 + y 2 + z 2 = r . Note também que o ângulo polar dá uma volta completa em nossa sólido, portanto o ângulo ϕ está no intervalo [ 0,2 π ] , no entanto ainda precisamos encontrar os limites para o ângulo θ e a coordenada radial! Bora lá!

Passo 4

Se aplicarmos as coordenadas esféricas na equação de nossa esfera obtemos que

r 2 = 2   r   c o s ( θ )

portanto, temos que

r = 2   c o s ( θ )

de forma que temos a coordenada radial no intervalo [ 0,2   c o s ( θ ) ] . Agora, a equação do cone se torna

r   c o s ( θ ) = 3 ( r 2 c o s 2 ( ϕ ) s e n 2 ( θ ) + r 2   s e n 2 ( ϕ ) s e n 2 ( θ ) ) = 3 r 2   s e n 2 ( θ )

ou simplesmente

r   c o s ( θ ) = 3 r   s e n ( θ )

Isso nos dá o seguinte vínculo

t g ( θ ) = 3 3

que é verdadeiro para θ = π / 6 . Sendo assim, podemos garantir que o nosso intervalo para θ é [ π / 6 , π / 2 ] , já que a figura só está no plano acima de z = 0 . Maravilha! A integral que temos que resolver é então dada por

M = k ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 2   c o s ( θ ) r 3   s e n ( θ )   d r d θ d ϕ

Vamos começar a integrar finalmente! Vem comigo!

Passo 5

Devemos integrar primeiro em r , pois os seus limites são funções das outras variáveis, sendo assim, comecemos por

∫ 0 2   c o s ( θ ) r 3   d r

essa integral pode ser resolvida usando a regrinha

∫ a b r n d r = r n + 1 n + 1 | a b

de forma que temos o resultado

∫ o 2   c o s ( θ ) r 3   d r = r 4 4 | 0 2   c o s ( θ ) = 4   c o s 4 ( θ )

Portanto, resta resolver

M = k ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 2 ∫ o 2   c o s ( θ ) r 3   s e n ( θ )   d r d θ d ϕ = 4 k ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 2   s e n ( θ ) c o s 4 ( θ )   d θ d ϕ

Vamos resolver a integral em θ agora! Saca só!

Passo 6

Temos que resolver a seguinte integral

∫ π / 6 π / 2   s e n ( θ ) c o s 4 ( θ )   d θ

para isso é conveniente utilizar uma substituição simples da forma

u = c o s ( θ ) e d u = - s e n ( θ ) d θ

Portanto, a integral se torna

∫ π / 6 π / 2   s e n ( θ ) c o s 4 ( θ )   d θ = - ∫ u ( π / 6 ) u ( π / 2 ) u 4 d u

os limites são

u ( π / 6 ) = c o s ( π / 6 ) = 3 / 2 e u ( π / 2 ) = c o s ( π / 2 ) = 0

e, portanto, a integral se torna

∫ �� / 6 π / 2   s e n ( θ ) c o s 4 ( θ )   d θ = - ∫ 3 / 2 0 u 4 d u

usando a mesma regrinha que utilizamos na integral da coordenada radial, temos que

∫ 3 / 2 0 u 4 d u = u 5 5 | 3 / 2 0 = 1 5 [ 0 - 3 5 / 2 32 ]

Portanto, o nosso resultado é

∫ 0 π / 6   s e n ( θ ) c o s 4 ( θ )   d θ = - 1 5 [ - 3 5 / 2 32 ]

e, nos resta resolver

M = 4 k 5 [ 3 5 / 2 32 ] ∫ 0 2 π d ϕ

Uff… quase acabando! Bora Bora!

Passo 7

Resolvendo a integral em ϕ , temos que

∫ 0 2 π d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π

temos então que

M = 8 π k 5 [ 3 5 / 2 32 ]

Vamos tentar reescrever isso para identificar a resposta dada pelo problema, temos que

M = π k 20 [ 3 5 / 2 ]

como temos que 3 5 / 2 = ( 3 ) 5 = 9 3 , podemos escrever que

M = π k 20 [ 9 3 ] = 9 π k 3 20

Aí está! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

M = 9 π k 3 20

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