Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

O número:

μ = 1 b - a ∫ a b f x d x

É chamado valor médio da função f no intervalo a , b . Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados:

(a)

f x = ln ⁡ x ; 1,2 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom...a questão nos pede para calcular o valor médio μ da função f x = ln ⁡ x nos intervalos de 1 a 2 .

Para isso, temos que:

μ = 1 b - a ∫ a b f x d x

Substituindo os valores, temos:

μ = 1 2 - 1 ∫ 1 2 ln ⁡ x d x

Podemos resolver essa integral utilizando a integral por partes, que é dada da seguinte forma:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, aplicando a integral por partes, temos que:

u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x

d v = d x ∴ v = x

Logo, temos:

μ = 1 2 - 1 ∫ 1 2 ln ⁡ x d x ∴

μ = x ln ⁡ x 2 1 * ∫ 1 2 x * 1 x   d x

μ = x ln ⁡ x - x 2 1 ∴

μ = 2 ln ⁡ 2 - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

μ = 2 ln ⁡ 2 - 1

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