Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.

a) Se f e g forem contínuas em f x ≥ g ( x ) para a ≤ x ≤ b , então

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verifica se quando temos duas funções contínuas e uma função é maior ou igual a outra em um intervalo [ a ,   b ] , então a integral dessa função também vai ser maior ou igual a outra no mesmo intervalo [ a ,   b ] .

Isso segue das propriedades comparativas da integral. Vamos analisar a afirmação.

Vamos lá!

Passo 2

Se f e g forem contínuas em f x ≥ g ( x ) , então podemos escrever:

f - g ≥ 0

Então, por definição, em [ a ,   b ] , a integral:

∫ a b f - g d x ≥ 0

Isso parte de uma interpreção geométrica, já que as áreas precisam ser positivas. Dessa forma, como uma função é maior do que a outra, pra que esse resultado seja positivo, nós temos:

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Logo, a afirmação é verdadeira.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V e r d a d e i r o

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