Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

O número:

μ = 1 b - a ∫ a b f x d x

É chamado valor médio da função f no intervalo a , b . Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados:

(a)

f x = x 1 + x 2 ; 0,1 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom...a questão nos pede para calcular o valor médio μ da função f x = x 1 + x 2 nos intervalos de 0 a 1 .

Para isso, temos que:

μ = 1 b - a ∫ a b f x d x

Substituindo os valores, temos:

μ = 1 1 - 0 ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x

Podemos resolver essa integral utilizando a substituição:

u = 1 + x 2 ∴ d u = 2 x   d x

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, aplicando a substituição, temos que:

μ = 1 1 - 0 ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x ∴

μ = 1 2 ∫ 0 1 1 u d u ∴

μ = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 1 0 ∴

μ = 1 2 ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

μ = 1 2 ln ⁡ 2

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