Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

Seja f x = x 3 - 9 x 2 - 7 x + 5 definido no intervalo 3,3 + 8 3 .   Seja c ϵ 3,3 + 8 3 um ponto que satisfaz o Teorema do Valor Médio com respeito aos extremos do intervalo de definição. O valor de c é:

a )   10

b )   8

c )   9

d ) 12

e )   11

Passo 1

Opa galera, aqui é uma questão de cálculo diferencial onde nós temos uma função qualquer que está definida e bem comportada ao longo de um certo domínio explicitado pela questão e a questão garante a existência de um ponto c que satisfaz o teorema do valor médio. Para resolver o probleminha precisamos lembrar como se calcula uma derivada de um polinômio para utilizar isso em conjunto com o teorema do valor médio. Mas eis a pergunta, você se lembra do teorema do valor médio?

CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar desse conceito bem importante aqui, o Teorema do valor médio ou o famoso TVM ele fala o seguinte:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Geometricamente a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, o TVM nos informa que podemos calcular a derivada em um único ponto c através da secante da curva, graficamente estamos fazendo a seguinte operação:

Iae conseguiu enxergar que a reta tangente é paralela a secante nesse caso? Então vamos utilizar o teorema do valor médio para calcular em qual ponto é possível realizar isso nesse caso.

Vamos lá?

Passo 2

Primeiramente vamos precisar da derivada da função, utilizando as propriedades das derivadas vamos calcular a derivada da f ( x ) .

d d x f x = d d x x 3 - 9 x 2 - 7 x + 5 = 3 x 2 - 18 x - 7

Agora que calculamos a derivada precisamos calcular os parâmetros da secante, olhando a figurinha abaixo temos que precisamos de dois valores f ( 3 ) e também precisamos da f 3 + 8 3 .

Utilizando a calculadora para simplificar as coisas temos os seguintes valores:

f 3 + 8 3 = - 70 + 1264 3

f 3 = - 70

E agora temos todos os dados que precisamos para resolver o problema, sabe o que falta? Usar a formulinha do TVM. Rapidinho né?

Passo 3

Pela formulinha do TVM temos que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Utilizando os valores que já calculamos e usando x = c temos que:

3 c 2 - 18 c - 7 = - 70 + 1264 3 - ( - 70 ) 3 + 8 3 - 3  

Resultando na seguinte equação:

3 c 2 - 18 c - 7 = 158

Que consequentemente temos que:

3 c 2 - 18 c - 165 = 0

Agora temos uma equação de segundo grau e para resolve-la precisamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Para finalizar, precisamos utilizar a formula de Bhaskara:

c = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 18 ) ± ( - 18 ) 2 - 4 * 3 * ( - 165 ) 2 * 3 =

Gerando as seguintes soluções:

c 1 = - 5

c 2 = 11

Tendo como resposta a alternativa e ) que é c = 11

Resposta

A resposta é a alternativa e).

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