Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 14

Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x 2 no intervalo 0 , b é igual a 3 .

Passo 1

Esse exercício aqui é um pouquinho diferente. Ao invés de te pedir o valor médio da função em um intervalo definido, ele te dá a média e quer saber em qual intervalo a função tem aquele valor médio.

No fundo, vamos usar a mesma fórmula do valor médio. Só que nessa caso, já vamos ter o seu resultado. A gente vai resolver em x , substituir b como um dos limites de integração e nossa incógnita será b . Acompanha aqui comigo!

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   a b h x d x

V a l o r   m é d i o = 1 b - 0   0 b 2 + 6 x - 3 x 2 d x

V a l o r   m é d i o = 1 b - 0     2 x + 6 x 2 2 - 3 x 3 3 b 0

V a l o r   m é d i o = 1 b     2 x + 3 x 2 - x 3 b 0

Sabemos que v a l o r   m é d i o = 3

3 = 1 b     2 b + 3 b 2 - b 3

3 = 2 + 3 b - b 2

b 2 - 3 b - 2 =   - 3

b 2 - 3 b + 1 = 0

Utilizando a famosa fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau acima:

b = 3 ±   9 - 4 2 = 3 ± 5 2

As duas raízes são positivas, então as duas são válidas \o/

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Resposta

b = 3 ± 5 2

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