Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 22

A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é

v r = P 2 η l R 2 - r 2

Em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue.

Encontre a velocidade média (em relação a r ) no intervalo 0 r R . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.

Passo 1

Esse exercício pode assustar um pouco. Mas na verdade ele é igual aos outros. Ele está pedindo a média de uma função, só que a diferença é que está contextualizado, ou seja, ao invés de ser uma função qualquer em função de x que ele inventou, é uma função que tem um significado físico.

Aquelas letras todas ali assustam, mas se você reparar, ele quer a média da função v em função de r no intervalo [ 0 , R ] . A variável da função é r e todas as outras letras são constantes. Olha só o que tenho que fazer:

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   a b v r d r

V a l o r   m é d i o = 1 R - 0   0 R P 2 ƞ l R 2 - r 2 d r

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l 0 R R 2 - r 2 d r

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l     R 2 r - r 3 3 R 0

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l     R 3 - R 3 3

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l     2 R 3 3

V a l o r   m é d i o =   P   R 2 3 ƞ l    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele pede ainda para compararmos o valor médio da função no intervalo com seu valor máximo. A função é decrescente no intervalo [ 0 , R ] , de modo que seu valor máximo nesse intervalo ocorre em r = 0 . Em r = 0 , a função vale:

v m á x =   v 0 =   P 2 ƞ l R 2 - 0 2 =   P R 2 2 ƞ l

Para compararmos a média com o valor máximo, fazemos:

v m é d i o v m á x = P   R 2 3 ƞ l P R 2 2 ƞ l = 1 3 1 2 = 2 3    

v m é d i o = 2 3 v m á x

Resposta

V a l o r   m é d i o =   P   R 2 3 ƞ l    

v m é d i o = 2 3 v m á x

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