Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração do MHS

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Enunciado

3 . Abaixo temos o gráfico da aceleração de um oscilador harmônico simples em função do tempo. A expressão que determina a posição, em metros, desse oscilador em função do tempo é

a   x t = - 1 π 2 sen ⁡ ( π t )

b   x t = - 2 sen ⁡ ( π t )

c   x t = cos ⁡ ( π t + π / 2 )

d   x t = - 2 π 2 cos ⁡ ( π t - π / 2 )

e   x t = cos ⁡ ( π - π / 2   )

Passo 1

Vamos para mais esse problema e acabar com ele!

A equação da posição da forma mais geral possível é dada por:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Então temos que achar quem é A ,   ω e ϕ .

Para isso vamos analisar esse gráfico e usar a equação da aceleração que fornece esse gráfico, na sua forma mais geral, temos:

a t = - ω 2 A cos ⁡ ω t + ϕ

Com isso vamos analisar o gráfico e encontrar os parâmetros.

Passo 2

Primeiro, olhando o gráfico vemos que em t = 0 temos que a 0 = 0 . Então:

a 0 = - ω 2 A cos ⁡ ϕ = 0

⇒ cos ⁡ ϕ = 0

Então temos que:

ϕ = π 2

Passo 3

Analisando o gráfico mais um pouco temos que em t = 1 / 2   s temos aceleração máxima e para um oscilador temos que a primeira aceleração máxima é ω 2 A , então temos que:

⇒ cos ⁡ ω 2 + π 2 = 1

Para que isso aconteça temos que:

ω 2 + π 2 = 0

⇒ ω = - π

Sabendo isso e que a aceleração máxima, olhando o gráfico, é 1   m / s 2 , temos:

ω 2 A = 1

⇒ A = 1 ω 2 = 1 π 2

Passo 4

Agora juntando tudo isso temos que a equação da posição é dada por:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

⇒ x t = 1 π 2 cos ⁡ - π t + π 2

Agora se usarmos o fato de que a diferença de uma função cosseno para uma função seno é uma fase de π / 2 , temos que:

x t = 1 π 2 s en ⁡ - π t

E como seno é uma função ímpar, temos:

x t = - 1 π 2 sen ⁡ π t

Logo a alternativa correta é a letra ( a ) .

Resposta

a   x t = - 1 π 2 sen ⁡ ( π t )

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