Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração do MHS

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Enunciado

Uma partícula de 10   g executa um MHS com uma amplitude de 2,0   m m , uma aceleração máxima de módulo 8,0   × 1 0 3   m / s 2 e uma constante de fase desconhecida ϕ . Determine ( a ) o período do movimento ( b ) a velocidade máxima da partícula e ( c ) a energia mecânica total do oscilador. Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual ( d ) o deslocamento é máximo? ( e ) O deslocamento é metade do deslocamento máximo?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma partícula com massa

m   = 10   g   = 10 × 1 0 - 3   k g

em um movimento harmônico simples (MHS) tal que sua amplitude é

A =   2,0   m m   =   2 × 1 0 - 3   m

e, cuja força gera uma aceleração máxima de módulo

| a → m a x | = 8,0   × 1 0 3   m   s - 2

o sistema tem uma fase desconhecida dada por ϕ . Nós queremos obter as as seguintes grandezas

( a ) o período do movimento ( b ) a velocidade máxima da partícula e ( c ) a energia mecânica total do oscilador.

e, por último obter o módulo da força nos pontos em que

( d ) o deslocamento é máximo? ( e ) O deslocamento é metade do deslocamento máximo?

Para fazer isso vamos ter que lembrar a solução do MHS e as relações e identificações que são possíveis de serem feitas a partir desta expressão! Vem comigo!

Passo 2

Para obtermos o período deste MHS precisamos partir de sua frequência angular dada por

ω 2 = k / m

nós temos a massa, mas para obter a constante elástica da mola vamos precisar utilizar o módulo da aceleração máxima juntamente com a identificação

| F → m á x | = m | a → m a x | = k   A

Ou simplesmente

k = m   | a → m a x | A = 4 × 1 0 4   N   m - 1

Sendo assim, temos que a frequência angular é dada por

ω 2 = 4 × 1 0 4   N   m - 1 /   10 × 1 0 - 3   k g  

de forma que

ω = 2000   r a d   s - 1

e usando a relação

ω = 2 π f

temos a frequência

f = 318,3   H z

de forma que o período é simplesmente

T = 1 / f = 3,14   × 1 0 - 3   s

ou como escrito na resposta

T = 3,1   m s

Vamos obter a velocidade máxima agora! Para isso vamos precisar lembrar da solução do MHS, você lembra?

Passo 3

Temos que a solução do MHS com uma fase arbitrária ϕ é tal que

x ( t ) = A   c o s ( ω t + ϕ )

a velocidade é obtida derivando a relação acima para obtermos

v ( t ) = - ω A   s e n ( ω t + ϕ )

em particular a velocidade máxima é obtida quando

s e n ( ω t + ϕ ) = 1

e, portanto, temos que

| v m a x | = ω A = ( 2000   r a d     s - 1 ) ( 2,0 × 1 0 - 3   m ) = 4,0   m   s - 1  

Ótimo! Mais uma alternativa já era! Vamos para a próxima!

Passo 4

A energia mecânica do oscilador pode ser obtida diretamente a partir da amplitude de oscilação, note que quando temos a distensão máxima da mola, a energia é puramente potencial, desta maneira podemos identificar que

E = 1 2 k A 2 = E p

sendo assim, usando a constante de mola que encontramos anteriormente e a amplitude de oscilação dada, temos que

E = 1 2 ( 4 × 1 0 4   N   m - 1 ) ( 2 × 1 0 - 3     m ) 2 = 0,08   J

Como a próxima alternativa dá uma leve mudada de assunto! Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 5

Queremos agora a força em diferentes pontos, primeiro, queremos a força no ponto de deslocamento máximo! Como esta é uma força elástica que é linearmente proporcional ao deslocamento, podemos garantir que a aceleração máxima está relacionada à força no deslocamento máximo, sendo assim

| F → m a x | = m   | a → m a x | = ( 10 × 1 0 - 3   k g ) ( 8,0   × 1 0 3   m   s - 2 ) = 80   N

Agora, queremos quando o deslocamento é metade do deslocamento máximo! Novamente, a força é linearmente proporcional ao deslocamento, sendo assim, temos que se diminuirmos o deslocamento pela metade, a força também cai pela metade, temos então que

| F → m e t a d e | = | F → m a x | / 2 = 40   N

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   3,1   m s , ( b )   4,0   m   s - 1 ( c )   0,080   J ; ( d )   80   N e ( e )   40   N

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