Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração do MHS

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Enunciado

1 . Um bloco está pendurado em uma mola, em repouso na posição de equilíbrio. Nesta situação a deformação da mola vale Δ l o = 40   c m . O bloco é então puxado para baixo, alongando a mola, de mais d = 10   c m , e abandonado a partir do repouso. Se necessário, use g ≃ 10   m / s 2 e deixe as respostas em termos de π .

a ) Determine a frequência angular ω e o período T das oscilações subsequentes.

b ) Determine a amplitude A e a constante de fase δ da função x t = A cos ⁡ ( ω t + δ ) que descreve o movimento do bloco. Escolha um eixo de coordenadas orientado verticalmente para cima, com origem no ponto onde o bloco está inicialmente em equilíbrio.

c ) Determine a velocidade máxima alcançada pelo bloco.

d ) Determine o instante em que pela primeira vez a energia cinética se iguala à energia potencial.

Passo 1

Vem comigo para mais essa!

Primeiro vamos ver a figura abaixo que representa nosso sistema.

O do lado esquerdo representa o bloco antes de ser puxado e o da direita depois do bloco ser puxado.

No item ( a ) para encontrar a frequência angular podemos usar a seguinte equação que nos fornece ela para uma mola pendura.

ω = g Δ l 0

E o período podemos encontrar através da seguinte equação:

T = 2 π ω

No item ( b ) para encontrar o que ele quer vamos analisar a função da posição fornecida no instante inicial e vamos também encontrar a função da velocidade usando o fato de que:

v t = d x t d t

Com isso vamos avaliá-las em t = 0 já que x 0 = - d (o valor é negativo, pois estamos usando a orientação de y como sugerido pelo enunciado) e v 0 = 0 já que o bloco parte do repouso.

Na letra ( c ) para achar a velocidade máxima vamos avaliar a função da velocidade que calculamos em ( b ) e ver o valor que faz ela ser máxima.

O item ( d ) quer que encontremos o instante t em que K = U .

Usando o fato de que:

K = 1 2 m v 2

U = 1 2 k x 2

Para isso vamos usar as expressões de x ( t ) do enunciado e a de v ( t ) que vamos calcular.

Mãos à obra!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos que a frequência angular é dada por:

ω = g Δ l 0

Substituindo o que sabemos, temos:

ω = 10 0,4

⇒ ω = 5   r a d / s

Agora podemos achar o período de oscilação, temos:

T = 2 π ω

Substituindo o valor de ω , ficamos com:

T = 2 π 5 s

Passo 3

Agora vamos olhar o item ( b ) .

Temos que a posição é dada por:

x t = A cos ⁡ ( ω t + δ )

Olhando para t = 0 , temos:

x 0 = A cos ⁡ δ = - d

Precisamos do valor de δ que é a constante fase antes para acharmos A . Para isso vamos olhar para a equação da velocidade.

v t = d x t d t

⇒ v t = - A ω sen ⁡ ( ω t + δ )

Agora olhando para t = 0 , temos:

v 0 = - A ω sen ⁡ δ = 0

Para isso ser verdadeiro temos que:

sen ⁡ δ = 0

⇒ δ = 0   o u   π

Mas como

A cos ⁡ δ = - d

e A é positivo temos que cos ⁡ δ deve ser negativo, logo δ = π . E com isso temos que:

A = d

⇒ A = 10   c m

Prontinho, mais um para conta.

Passo 4

Vamos achar o que o item ( c ) quer.

Ele quer a velocidade máxima, temos que a velocidade é dada por:

v t = - A ω sen ⁡ ( ω t + δ )

Para ela ser máxima precisamos que o seno seja igual 1 , logo:

v m á x = A ω

O sinal não precisa ser levado em conta pois ele só diz em qual posição ele atinge a velocidade máxima ou em x = A ou x = - A .

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v m á x = ( 10 ) ( 5 )

⇒ v m á x = 50   c m / s

Passo 5

Por último vamos resolver o item ( d ) .

Temos que:

K = U

⇒ 1 2 m v 2 = 1 2 k x 2

Substituindo com as equações da posição e da velocidade, temos:

1 2 m ( - A ω sen ⁡ ( ω t + δ ) ) 2 = 1 2 k ( A cos ⁡ ( ω t + δ ) ) 2

⇒ m A 2 ω 2 sen 2 ⁡ ( ω t + δ ) = k A 2 cos 2 ⁡ ( ω t + δ )

Agora vamos usar uma outra definição de frequência angular que é:

ω = k m

⇒ k = m ω 2

Com isso temos:

k A 2 sen 2 ⁡ ( ω t + δ ) = k A 2 cos 2 ⁡ ( ω t + δ )

⇒ sen 2 ⁡ ( ω t + δ ) = cos 2 ⁡ ( ω t + δ )

⇒ sen ⁡ ( ω t + δ ) = cos ⁡ ( ω t + δ )

Passo 6

Para continuarmos temos nos atentar que o enunciado quer o valor de t para a primeira vez que essa igualdade acontece.

Só que isso acontece pela primeira vez entre o instante em que o bloco é solto e o instante que ele passa pelo ponto de repouso.

Nisso temos que a posição é negativa e a velocidade é positiva, para que isso acontece teremos que:

sen ⁡ ( ω t + δ ) = cos ⁡ ( ω t + δ ) < 0

Mas isso só acontece quando para o seno e o cosseno de 5 π / 4 , então:

ω t + δ = 5 π 4

⇒ t = 5 π 4 ω - δ ω

Usando que ω = 5   r a d / s e δ = π , temos:

t = 5 π 20 - π 5

= π 4 - π 5

Com isso temos que:

t = π 20 s

Resposta

( a )

ω = 5   r a d / s

T = 2 π 5 s

( b )

δ = π

A = 10   c m

( c )

v m á x = 50   c m / s

( d )

t = π 20 s

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