Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração do MHS

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Enunciado

Uma mola, de massa desprezível, está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y i tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10   c m abaixo de y i . ( a ) Qual a frequência das oscilações? ( b ) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 8,0   c m abaixo da posição inicial? ( c ) Um objeto de massa 300   g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do primeiro objeto? ( d ) A que distância abaixo de y i está a nova posição de equilíbrio (repouso), com dois objetos presos à mola?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma mola, de massa desprezível, e nessa mola está preso um objeto cuja massa nós desconhecemos, essa massa faz com que a mola se estique e ele esteja em equilíbrio na posição

y i

O objeto é então liberado para oscilar a partir de uma posição 10   c m = 10 × 1 0 - 2   m abaixo deste ponto de equilíbrio. Usando estes dados precisamos obter

( a ) Qual a frequência das oscilações? ( b ) A velocidade do objeto quando se encontra 8,0   c m abaixo da posição inicial.

Agora, é preso ao primeiro objeto um segundo objeto de massa

m = 300   g   =   300   × 1 0 - 3   k g

o que diminui a frequência de oscilação do sistema pela metade, com esta informação devemos descobrir a massa do objeto original e também obter

( d ) A que distância abaixo de y i está a nova posição de equilíbrio.

Vamos considerar um MHS vertical usual e tentar usar as definições relacionadas para calcular as grandezas pedidas uma a uma! Vem comigo!

Passo 2

Como não temos o valor da massa original vamos tentar balancear esse sistema usando condições de energia, como a posição mais baixa de oscilação é dada 10   c m abaixo de y i , temos que a amplitude de oscilação é tal que

A = 10   c m

e, sendo assim, a energia mecânica total do sistema é dada por

1 2 k A 2 = E

Quando a mola puxar de volta a partícula, ela irá comprimir a mola até uma posição que é 10   c m superior à y i , de forma que teremos uma energia potencial dada por

E p = m g   y i = E

pela conservação da energia mecânica temos que

1 2 k A 2 = m g   A

usando que

ω 2 = k / m

temos a relação

1 2 m ω 2 A 2 = m g   A

simplificada de forma que temos o balanço

ω 2 = 2 g A = 196   r a d 2   s - 2

essa expressão é tal que

ω = 14   r a d   s - 1

e, portanto, a frequência pode ser obtida como

ω = 2 π f

ou simplesmente

f = 2,2   H z

A primeira alternativa foi isso! Vamos continuar!

Passo 3

Para encontrar agora a velocidade quando a partícula está 8   c m abaixo de y i vamos usar novamente a conservação de energia, neste ponto teremos energia cinética e energia potencial gravitacional além da energia potencial elástica, de forma que a energia mecânica é dada por

E =   K + E p g + E p e l

Se o referencial estiver em y i , temos que 8   c m abaixo de y i obtemos

E =   1 2 m v 2 - 8   × 1 0 - 2   m g + 1 2 k   ( 8 × 1 0 - 2 ) 2

pela conservação da energia mecânica, isso deve ser igual a energia mecânica no ponto de máxima distensão, ou seja

1 2 m v 2 - 8   × 1 0 - 2   m g + 1 2 k   ( 8 × 1 0 - 2 ) 2 = 1 2 k A 2 - m g   A

em que considerei a energia elástica e gravitacional no ponto de distensão máxima. Dividindo tudo por m , temos que

1 2 v 2 - 8 × 1 0 - 2 g + ω 2 2 ( 8 × 1 0 - 2 ) 2 = 1 2 ω 2 A 2 - g A

de forma que a velocidade é dada por

v 2 = ω 2 A 2 + 2 ( 8 × 1 0 - 2 ) g - 2 g A - ω 2 ( 8 × 1 0 - 2 ) 2

usando a frequência angular que calculamos anteriormente

v = 0,56   m   s - 1 = 56   c m   s - 1

Agora vamos avaliar o que ocorre ao colocarmos a segunda partícula presa a primeira!

Passo 4

Ao prender uma massa de 300   g ao sistema temos que a frequência do sistema caí pela metade, portanto, temos que

ω f = ω 2

considerando que a mola continua a mesma, temos que

k ( m + 300 × 1 0 - 3   k g ) = 1 2 k   m

ou simplificando, temos que

4 m = ( m + 300 × 1 0 - 3 k g )

ou simplesmente

3 m = 300 × 1 0 - 3   k g

de forma que

m = 100   × 1 0 - 3   k g

Considerando que y i era a posição de equilíbrio original, ela garante o seguinte balanço de forças

m g - k y i = 0

Se agora temos uma segunda partícula, o sistema se torna

300 × 1 0 - 3 g + 100 × 1 0 - 3 g - k y f = 0

ou seja, a nova posição de equilíbrio é tal que

y f = ( 400 × 1 0 - 3 ) g k = ( 400 × 1 0 - 3 ) g m ω 2

ou usando os valores que calculamos anteriormente

y f = 400 × 1 0 - 3 ( 9,8 ) ( 100 × 1 0 - 3 ) 1 4 2 = 0,2   m

ou simplesmente

y f = 20   c m

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) f = 2,2   H z , ( b )   v = 56   c m   s - 1 ( c )   m = 100   × 1 0 - 3   k g ; ( d )   y f = 20   c m

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