Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 14.

Encontre o vetor normal para a curva

r t = c o s 3 t   i + s e n 3 t   j ,   0 t π 2

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:

v t = r ' ( t ) = 3 ( - s e n   t ) c o s ² t ,   3 cos t s e n ² t = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ( t ) s e n ² ( t ) )

v t = - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) 2 + 3 cos t s e n 2 t 2 = 9 s e n 2 t c o s 4 t + 9 c o s 2 t s e n 4 t

v t = 9 c o s ² t s e n ² t ( c o s 2 t + s e n 2 t ) = | 3 c o s ( t ) s e n ( t ) |

Como 0 t < π 2 , cos t e sin t são maiores que zero, então podemos esquecer o módulo

v t = 3 cos t sen t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:

T t = v t v t = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ( t ) s e n ² ( t ) ) 3 c o s ( t ) s e n ( t ) = - cos t , s e n   t

Passo 3

Agora derivamos o vetor tangente unitário:

T ' t = ( s e n   t ,   cos t )

E calculamos seu módulo:

T ' t = s e n   t 2 + cos t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Passo 4

Fim da questão: é só substituir na fórmula:

N = T ' t T ' t

N = ( s e n   t ,   cos t ) 1 = ( s e n   t ,   cos t )

Resposta

N = ( s e n   t ,   cos t )

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