Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

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Enunciado

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:

b) π   :   X   =   ( 1 ,   2 ,   0 )   +   λ ( 1 ,   − 1 ,   1 )   +   µ ( 0 ,   1 ,   − 2 ) ,   λ ,   µ   ∈   R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular um vetor normal ao plano dado pela equação vetorial

X   =   ( 1 ,   2 ,   0 )   +   λ ( 1 ,   − 1 ,   1 )   +   µ ( 0 ,   1 ,   − 2 )

Da equação acima, vemos que o plano X é paralelo ao plano X’ dado pela equação vetorial:

X '   = λ ( 1 ,   − 1 ,   1 )   +   µ ( 0 ,   1 ,   − 2 )

Portanto, podemos encontrar um vetor normal à X encontrando um vetor normal à X’. As componentes de todos os pontos que estão contidos em X’ são da forma

X '   =   ( λ ,   - λ + μ ,   λ - 2 μ )

Onde λ   e   μ são dois parâmetros reais. Então, queremos encontrar um vetor v = ( a ,   b ,   c ) que é perpendicular todos os vetores da forma ( λ ,   - λ + μ ,   λ - 2 μ ) , que são os vetores contidos em X’. Então, para encontrar as componentes a, b e c, vamos fazer o produto escalar e exigir que isso seja nulo! Então bora lá!

Passo 2

Como queremos que v = ( a ,   b ,   c ) seja perpendicular aos vetores da forma ( λ ,   - λ + μ ,   λ - 2 μ ) , temos que o produto escalar entre esses vetores deve ser nulo:

( a ,   b ,   c ) ⋅ ( λ ,   - λ + μ ,   λ - 2 μ ) = a λ + b ( μ - λ ) + c ( λ - 2 μ ) = 0

Então, temos

λ ( a - b + c ) + μ ( b - 2 c ) = 0

Como λ   e   μ são parâmetros arbitrários, a única forma da equação acima ser sempre nula é se

a - b + c = 0

e

b - 2 c = 0

Das equações acima, obtemos as restrições b = 2 c e a - ( 2 c ) + c = 0   ⇒   a   = c

Então, os vetores perpendiculares ao plano X’, são da forma

v = c   ( 1 ,   2 ,   1 )

Onde c é um parâmetro real arbitrário, pois se (1, 2, 1) é perpendicular à X’, qualquer múltiplo seu também será. Então, como X e X’ são planos paralelos, temos que um vetor normal ao plano X é

v = ( 1 ,   2 ,   1 )

Resposta

v = ( 1 ,   2 ,   1 )

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