Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

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Enunciado

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:

c) π   :   x   ���   2 y   +   4 z   +   1   =   0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular um vetor normal ao plano dado pela equação

π   :   x   −   2 y   +   4 z   +   1   =   0 .

Primeiro, notemos que esse plano é paralelo ao plano

P   :   x   −   2 y   +   4 z   =   0 .

Onde a única diferença entre suas equações é o coeficiente, que na segunda equação é nula. Então, temos que um vetor normal ao plano P é também normal ao plano π , pois cada ponto do plano P só está deslocado do plano π por um fator 1. Então, vamos dar uma olhada na equação do plano P!

Passo 2

A gente sabe que para dois vetores v =   ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 ) e w =   ( w 1 ,   w 2 ,   w 3 ) serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser nulo:

v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0

Essa equação se parece muito com a equação do plano P, se definirmos o vetor V = ( 1 ,   - 2 ,   4 ) , temos que qualquer vetor no plano, com coordenadas U = (x, y, z) será perpendicular ao vetor V, visto que a equação do plano é

V ⋅ U = ( 1 , - 2,4 ) ⋅ ( x , y , z ) = x - 2 + 4 z = 0

Portanto, temos que o vetor V = ( 1 ,   - 2 ,   4 ) é perpendicular ao plano P, e como o plano P é paralelo ao plano π , ele é perpendicular ao plano π ! Portanto esse é o vetor que procuramos.

Resposta

V = ( 1 ,   - 2 ,   4 )

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